Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

Langkah 3.2

Kalikan kedua ruas dengan $1 + 4^{y}$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + 4^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Langkah 3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan $x (1 + 4^{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Susun kembali $x$ dan $4^{y}$ .

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x + 4^{y} x$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Langkah 3.4.2

Kurangkan $x \cdot 4^{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $4^{y}$ dari $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kalikan dengan $1$ .

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

Langkah 3.4.3.2

Faktorkan $4^{y}$ dari $- x \cdot 4^{y}$ .

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

Langkah 3.4.3.3

Faktorkan $4^{y}$ dari $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ .

$4^{y} (1 - x) = x$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $4^{y} (1 - x) = x$ dengan $1 - x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $4^{y} (1 - x) = x$ dengan $1 - x$ .

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Langkah 3.4.4.2.1.2

Bagilah $4^{y}$ dengan $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

Langkah 3.4.5

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Langkah 3.4.6

Perluas $\ln (4^{y})$ dengan memindahkan $y$ ke luar logaritma.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Langkah 3.4.7

Bagi setiap suku pada $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ dengan $\ln (4)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Bagilah setiap suku di $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ dengan $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Langkah 3.4.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Langkah 3.4.7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Langkah 5.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Langkah 5.2.3.3

Tulis kembali $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Kurangi $4^{x}$ dengan $4^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Langkah 5.2.3.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Langkah 5.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + 4^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Langkah 5.2.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Langkah 5.2.5

Perluas $\ln (4^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Langkah 5.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Langkah 5.2.6.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Gunakan aturan beda bilangan pokok $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Langkah 5.3.3.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Gunakan aturan beda bilangan pokok $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

Langkah 5.3.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

Langkah 5.3.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

Langkah 5.3.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

Langkah 5.3.4.5

Tulis kembali $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.5.1

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

Langkah 5.3.4.5.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

Langkah 5.3.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Langkah 5.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Langkah 5.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$