Prakalkulus Contoh

What is the average rate of change of $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ over the interval $1 \leq x \leq 3$ ?

Langkah 1

Tuliskan $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{2}{x + 3}$

Langkah 2

Substitusikan menggunakan rumus laju perubahan rerata.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Laju perubahan rerata dari sebuah fungsi dapat ditemukan dengan menghitung beda dalam nilai $y$ dari dua titik yang dibagi dengan beda dalam nilai $x$ dari dua titik.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Langkah 2.2

Substitusikan persamaan $y = \frac{2}{x + 3}$ untuk $f (3)$ dan $f (1)$ , menggantikan $x$ dalam fungsi dengan nilai $x$ yang sesuai.

$\frac{(\frac{2}{(3) + 3}) - (\frac{2}{(1) + 3})}{(3) - (1)}$

Langkah 3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan dengan $(3 + 3) (1 + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kalikan $\frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$ dengan $\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)}$ .

$\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)} \cdot \frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$

Langkah 3.1.2

Gabungkan.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) (\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) (3 - (1))}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.3

Sederhanakan dengan cara membatalkan .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{1 + 3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $1 + 3$ dari $(3 + 3) (1 + 3)$ .

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{4 \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{8 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.4.3

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$\frac{8 + 6 \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.4.4

Kalikan $6$ dengan $- 2$ .

$\frac{8 - 12}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.4.5

Kurangi $12$ dengan $8$ .

$\frac{- 4}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$\frac{- 4}{6 (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{- 4}{6 \cdot 4 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.5.3

Kalikan $6 \cdot 4 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$\frac{- 4}{24 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.5.3.2

Kalikan $24$ dengan $3$ .

$\frac{- 4}{72 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.5.4

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 (1 + 3) (- (1))}$

Langkah 3.5.5

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 \cdot 4 (- (1))}$

Langkah 3.5.6

Kalikan $6 \cdot 4 (- (1))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 (- (1))}$

Langkah 3.5.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 \cdot - 1}$

Langkah 3.5.6.3

Kalikan $24$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 4}{72 - 24}$

Langkah 3.5.7

Kurangi $24$ dengan $72$ .

$\frac{- 4}{48}$

Langkah 3.6

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{48}$

Langkah 3.6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $48$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Langkah 3.6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Langkah 3.6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{12}$

Langkah 3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{12}$