Prakalkulus Contoh

$y = \frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ tidak terdefinisi.

$x = - 5, x = 1$

Langkah 2

Karena $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 5$ dari kiri dan $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 5$ dari kanan, maka $x = - 5$ adalah asimtot tegak.

$x = - 5$

Langkah 3

Karena $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $1$ dari kiri dan $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $1$ dari kanan, maka $x = 1$ adalah asimtot tegak.

$x = 1$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 5, 1$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $x^{2} + 4 x - 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 5$ dan jumlahnya $4$ .

$- 1, 5$

Langkah 8.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{5 x^{3} - 4}{(x - 1) (x + 5)}$

Langkah 8.2

Perluas $(x - 1) (x + 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x (x + 5) - 1 (x + 5)}$

Langkah 8.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}$

Langkah 8.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.4

Susun kembali $x$ dan $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}$

Langkah 8.2.10

Kurangi $1 x$ dengan $5 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Langkah 8.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Langkah 8.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $5 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Langkah 8.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Langkah 8.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $5 x^{3} + 20 x^{2} - 25 x$

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Langkah 8.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

Langkah 8.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

Langkah 8.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 20 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$

Langkah 8.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							-	$20 x^{2}$	-	$80 x$	+	$100$

Langkah 8.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 20 x^{2} - 80 x + 100$

$5 x$

$20$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

$20 x^{2}$

$80 x$

$100$

Langkah 8.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							+	$20 x^{2}$	+	$80 x$	-	$100$
									+	$105 x$	-	$104$

Langkah 8.13

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$5 x - 20 + \frac{105 x - 104}{x^{2} + 4 x - 5}$

Langkah 8.14

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = 5 x - 20$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 5, 1$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = 5 x - 20$

Langkah 10