Prakalkulus Contoh

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

Langkah 1

Ini adalah barisan geometrik karena ada rasio yang sama di antara masing-masing suku. Dalam hal ini, dengan mengalikan $\frac{1}{3}$ ke suku sebelumnya dalam barisan akan diperoleh nilai pada suku berikutnya. Dengan kata lain, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Barisan Geometrik: $r = \frac{1}{3}$

Langkah 2

Gunakan rumus barisan geometrik $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ untuk menentukan banyaknya suku, $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan nilai-nilai suku pertama, suku terakhir, dan rasio antar suku ke dalam rumus.

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Langkah 2.2

Selesaikan $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ .

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

Langkah 2.2.2

Bagi setiap suku pada $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ dengan $12$ .

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Langkah 2.2.2.2.1.2

Bagilah ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ dengan $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Langkah 2.2.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Langkah 2.2.2.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Langkah 2.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

Langkah 2.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

Langkah 2.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

Langkah 2.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.2.2.3.3

Kalikan $\frac{1}{243}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

Langkah 2.2.2.3.4

Kalikan $243$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

Langkah 2.2.3

Kalikan kedua ruas dengan $3^{n - 1}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Langkah 2.2.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Langkah 2.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Gabungkan $\frac{1}{729}$ dan $3^{n - 1}$ .

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

Langkah 2.2.5

Selesaikan $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ .

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

Langkah 2.2.5.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $729$ .

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Langkah 2.2.5.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $729$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Langkah 2.2.5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

Langkah 2.2.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.3.2.1

Kalikan $729$ dengan $1$ .

$3^{n - 1} = 729$

Langkah 2.2.5.4

Buat pernyataan yang setara dalam persamaan yang semuanya memiliki bilangan pokok yang sama.

$3^{n - 1} = 3^{6}$

Langkah 2.2.5.5

Karena bilangan pokoknya sama, maka dua pernyataannya sama hanya jika pangkatnya juga sama.

$n - 1 = 6$

Langkah 2.2.5.6

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $n$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.6.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$n = 6 + 1$

Langkah 2.2.5.6.2

Tambahkan $6$ dan $1$ .

$n = 7$

Langkah 3

Gunakan rumus jumlah barisan geometrik $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ untuk menentukan jumlahnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai suku pertama, rasio, dan banyaknya suku ke dalam rumus.

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $7$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2187$ .

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.7.2

Kurangi $2187$ dengan $1$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.9

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.9.1

Buang faktor negatif.

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.9.2

Gabungkan $- 12$ dan $\frac{2186}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.9.3

Kalikan $- 12$ dengan $2186$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.10

Hapus faktor persekutuan dari $- 26232$ dan $2187$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.10.1

Faktorkan $3$ dari $- 26232$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $2187$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.12

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.12.1

Buang faktor negatif.

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.12.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.12.3

Kalikan $\frac{8744}{729}$ dengan $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 3.2.2.2

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.2.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Langkah 3.2.2.4.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

Langkah 3.2.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

Langkah 3.2.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

Langkah 3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.2.4.2

Faktorkan $2$ dari $8744$ .

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.2.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

Langkah 3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Faktorkan $3$ dari $729$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

Langkah 3.2.5.2

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Langkah 3.2.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Langkah 3.2.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

Langkah 3.2.6

Gabungkan $\frac{4372}{243}$ dan $- 1$ .

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

Langkah 3.2.7

Kalikan $4372$ dengan $- 1$ .

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

Langkah 3.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$