Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$

Langkah 3.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $4$ .

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

Langkah 3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt[3]{y - 6} = 4 x$

Langkah 3.4

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${\sqrt[3]{y - 6}}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Langkah 3.5

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{y - 6}$ sebagai ${(y - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Sederhanakan ${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Langkah 3.5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Langkah 3.5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(y - 6)}^{1} = {(4 x)}^{3}$

Langkah 3.5.2.1.2

Sederhanakan.

$y - 6 = {(4 x)}^{3}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Sederhanakan ${(4 x)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 x$ .

$y - 6 = 4^{3} x^{3}$

Langkah 3.5.3.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$y - 6 = 64 x^{3}$

Langkah 3.6

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 64 x^{3} + 6$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})}^{3} + 6$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x - 6}}^{3}}{4^{3}}) + 6$

Langkah 5.2.3.2

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ sebagai $x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x - 6}$ sebagai ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}}) + 6$

Langkah 5.2.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}}) + 6$

Langkah 5.2.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

Langkah 5.2.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

Langkah 5.2.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

Langkah 5.2.3.2.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

Langkah 5.2.3.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

Langkah 5.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

Langkah 5.2.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x - 6 + 6$

Langkah 5.2.4

Gabungkan suku balikan dalam $x - 6 + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Tambahkan $- 6$ dan $6$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x + 0$

Langkah 5.2.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (64 x^{3} + 6)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{(64 x^{3} + 6) - 6}}{4}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3} + 0}}{4}$

Langkah 5.3.3.2

Tambahkan $64 x^{3}$ dan $0$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3}}}{4}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis kembali $64 x^{3}$ sebagai ${(4 x)}^{3}$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(4 x)}^{3}}}{4}$

Langkah 5.3.3.4

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

Langkah 5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

Langkah 5.3.4.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f (64 x^{3} + 6) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$