Prakalkulus Contoh

${(x - 1)}^{2} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

${(x - 1)}^{2} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 1$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(1, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\sqrt{25 - 1}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $1$ dengan $25$ .

$\sqrt{24}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $24$ sebagai $2^{2} \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Faktorkan $4$ dari $24$ .

$\sqrt{4 (6)}$

Langkah 5.3.5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$2 \sqrt{6}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(1, 0 + 5)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(1, 5)$

Langkah 6.4

Puncak kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(1, 0 - (5))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(1, - 5)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 5)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(1, 0 + 2 \sqrt{6})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(1, 2 \sqrt{6})$

Langkah 7.4

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(1, 0 - (2 \sqrt{6}))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(1, - 2 \sqrt{6})$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(1, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 \sqrt{6})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}}{5}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1^{2}}}{5}$

Langkah 8.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 1}}{5}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1}}{5}$

Langkah 8.3.4

Kurangi $1$ dengan $25$ .

$\frac{\sqrt{24}}{5}$

Langkah 8.3.5

Tulis kembali $24$ sebagai $2^{2} \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.5.1

Faktorkan $4$ dari $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{5}$

Langkah 8.3.5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{5}$

Langkah 8.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(1, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 \sqrt{6})$

Eksentrisitas: $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Langkah 10