Prakalkulus Contoh

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{y}}^{7}$ sebagai $\sqrt[3]{y^{7}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

Langkah 3.1.2.2

Tulis kembali $y^{7}$ sebagai ${(y^{2})}^{3} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Faktorkan $y^{6}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

Langkah 3.1.2.2.2

Tulis kembali $y^{6}$ sebagai ${(y^{2})}^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

Langkah 3.1.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

Langkah 3.1.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $7$ .

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

Langkah 3.2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ .

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

Langkah 3.3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

Langkah 3.4

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $16384$ .

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Langkah 3.5

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan $16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $16384$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Langkah 3.5.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{\frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Langkah 3.5.1.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Langkah 3.5.1.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Langkah 3.5.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

Langkah 3.5.1.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

Langkah 3.5.1.2.5.2

Tambahkan $6$ dan $1$ .

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

Langkah 3.6

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $\frac{3}{7}$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.1.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.1.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.1.1.2

Sederhanakan.

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Sederhanakan ${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $16384 x$ .

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.2.1.1.2

Tulis kembali $16384$ sebagai $4^{7}$ .

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.2.1.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

Langkah 3.7.2.1.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ merupakan balikan dari $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

Langkah 5.2.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Langkah 5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Langkah 5.2.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

Langkah 5.2.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

Langkah 5.2.4

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

Langkah 5.2.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Langkah 5.2.4.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Langkah 5.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Langkah 5.2.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Langkah 5.2.4.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Langkah 5.2.5

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Langkah 5.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Langkah 5.2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tulis kembali $64 x^{\frac{3}{7}}$ sebagai ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

Langkah 5.3.3.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Langkah 5.3.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Langkah 5.3.4.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Bagilah $x^{\frac{1}{7}}$ dengan $1$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Langkah 5.3.4.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Langkah 5.3.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Langkah 5.3.4.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ merupakan balikan dari $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$