Prakalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x + 9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \sqrt{x + 9}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \sqrt{x + 9}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \sqrt{y + 9}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{y + 9} = x$ .

$\sqrt{y + 9} = x$

Langkah 3.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{y + 9}}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y + 9}$ sebagai ${(y + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan ${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(y + 9)}^{1} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan.

$y + 9 = x^{2}$

Langkah 3.4

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = x^{2} - 9$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{x + 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\sqrt{x + 9})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(\sqrt{x + 9})}^{2} - 9$

Langkah 5.2.3

Tulis kembali ${\sqrt{x + 9}}^{2}$ sebagai $x + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 9}$ sebagai ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9$

Langkah 5.2.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9$

Langkah 5.2.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} - 9$

Langkah 5.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} - 9$

Langkah 5.2.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = (x + 9) - 9$

Langkah 5.2.3.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x + 9 - 9$

Langkah 5.2.4

Gabungkan suku balikan dalam $x + 9 - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x + 0$

Langkah 5.2.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (x^{2} - 9)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{(x^{2} - 9) + 9}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $- 9$ dan $9$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Langkah 5.3.4

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{x^{2}}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (x^{2} - 9) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$