Prakalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x} + 10$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \sqrt{x} + 10$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \sqrt{x} + 10$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \sqrt{y} + 10$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{y} + 10 = x$ .

$\sqrt{y} + 10 = x$

Langkah 3.2

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{y} = x - 10$

Langkah 3.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(x - 10)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Sederhanakan.

$y = {(x - 10)}^{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan ${(x - 10)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Tulis kembali ${(x - 10)}^{2}$ sebagai $(x - 10) (x - 10)$ .

$y = (x - 10) (x - 10)$

Langkah 3.4.3.1.2

Perluas $(x - 10) (x - 10)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = x (x - 10) - 10 (x - 10)$

Langkah 3.4.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

Langkah 3.4.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Langkah 3.4.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Langkah 3.4.3.1.3.1.2

Pindahkan $- 10$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

Langkah 3.4.3.1.3.1.3

Kalikan $- 10$ dengan $- 10$ .

$y = x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

Langkah 3.4.3.1.3.2

Kurangi $10 x$ dengan $- 10 x$ .

$y = x^{2} - 20 x + 100$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\sqrt{x} + 10)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(\sqrt{x} + 10)}^{2} - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tulis kembali ${(\sqrt{x} + 10)}^{2}$ sebagai $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = (\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.2

Perluas $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 10) + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1

Kalikan $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1.1

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.1.2

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.2

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.2.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.3

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \cdot \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.1.4

Kalikan $10$ dengan $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.3.2

Tambahkan $10 \sqrt{x}$ dan $10 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Langkah 5.2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 20 \cdot 10 + 100$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $- 20$ dengan $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gabungkan suku balikan dalam $x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Kurangi $20 \sqrt{x}$ dengan $20 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0 + 100 - 200 + 100$

Langkah 5.2.4.1.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 100 - 200 + 100$

Langkah 5.2.4.2

Kurangi $200$ dengan $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x - 100 + 100$

Langkah 5.2.4.3

Gabungkan suku balikan dalam $x - 100 + 100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Tambahkan $- 100$ dan $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0$

Langkah 5.2.4.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (x^{2} - 20 x + 100)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Langkah 5.3.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.1

Tulis kembali $100$ sebagai $10^{2}$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 10^{2}} + 10$

Langkah 5.3.4.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$20 x = 2 \cdot x \cdot 10$

Langkah 5.3.4.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2}} + 10$

Langkah 5.3.4.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{{(x - 10)}^{2}} + 10$

Langkah 5.3.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x - 10 + 10$

Langkah 5.3.5

Gabungkan suku balikan dalam $x - 10 + 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Tambahkan $- 10$ dan $10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x + 0$

Langkah 5.3.5.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$