Prakalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$

Langkah 1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3 \geq 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + \frac{3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Langkah 2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x + 3 \cdot - 2}{x - 2} \geq 0$

Langkah 2.1.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x - 6}{x - 2} \geq 0$

Langkah 2.1.3.3

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x - 2} \geq 0$

Langkah 2.1.3.4

Faktorkan $x^{2} + 3 x - 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.4.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 4$ dan jumlahnya $3$ .

$- 1, 4$

Langkah 2.1.3.4.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x - 2} \geq 0$

Langkah 2.2

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 2.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.4

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 2.5

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.6

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 1$

$x = - 4$

$x = 2$

Langkah 2.7

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 1, - 4, 2$

Langkah 2.8

Tentukan domain dari $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 2 = 0$

Langkah 2.8.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.8.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 2.9

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 2.10

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Uji nilai pada interval $x < - 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 2.10.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2}{(- 6) - 2} + 3 \geq 0$

Langkah 2.10.1.3

Sisi kiri $- 1.75$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 2.10.2

Uji nilai pada interval $- 4 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1

Pilih nilai pada interval $- 4 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 2.10.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(0)}^{2} + 2}{(0) - 2} + 3 \geq 0$

Langkah 2.10.2.3

Sisi kiri $2$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.10.3

Uji nilai pada interval $1 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1

Pilih nilai pada interval $1 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1.5$

Langkah 2.10.3.2

Ganti $x$ dengan $1.5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(1.5)}^{2} + 2}{(1.5) - 2} + 3 \geq 0$

Langkah 2.10.3.3

Sisi kiri $- 5.5$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 2.10.4

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 2.10.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(4)}^{2} + 2}{(4) - 2} + 3 \geq 0$

Langkah 2.10.4.3

Sisi kiri $12$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.10.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 4$ Salah

$- 4 < x < 1$ Benar

$1 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 4$ Salah

$- 4 < x < 1$ Benar

$1 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 2.11

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 4 \leq x \leq 1$ atau $x > 2$

Langkah 3

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 2 = 0$

Langkah 4

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 4, 1] \cup (2, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 4 \leq x \leq 1, x > 2}$

Langkah 6