Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ tidak terdefinisi.

$x = 3, x = 5$

Langkah 2

Karena $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $5$ dari kiri dan $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $5$ dari kanan, maka $x = 5$ adalah asimtot tegak.

$x = 5$

Langkah 3

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 4

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 5

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 6

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan $x^{2} - 8 x + 15$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $15$ dan jumlahnya $- 8$ .

$- 5, - 3$

Langkah 6.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{(x - 5) (x - 3)}$

Langkah 6.2

Perluas $(x - 5) (x - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x (x - 3) - 5 (x - 3)}$

Langkah 6.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 5 (x - 3)}$

Langkah 6.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Langkah 6.2.4

Susun kembali $x$ dan $- 3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Langkah 6.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Langkah 6.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Langkah 6.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{1 + 1} - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Langkah 6.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Langkah 6.2.9

Kalikan $- 5$ dengan $- 3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 3 x - 5 x + 15}$

Langkah 6.2.10

Kurangi $5 x$ dengan $- 3 x$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 8 x + 15}$

Langkah 6.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

Langkah 6.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

Langkah 6.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

Langkah 6.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 8 x^{2} + 15 x$

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

Langkah 6.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

$13 x^{2}$

$32 x$

Langkah 6.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

						$x$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$

Langkah 6.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $13 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$

Langkah 6.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$13$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

$13 x^{2}$

$32 x$

$21$

$13 x^{2}$

$104 x$

$195$

Langkah 6.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $13 x^{2} - 104 x + 195$

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$
							-	$13 x^{2}$	+	$104 x$	-	$195$

Langkah 6.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$
							-	$13 x^{2}$	+	$104 x$	-	$195$
									+	$72 x$	-	$216$

Langkah 6.13

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x + 13 + \frac{72 x - 216}{x^{2} - 8 x + 15}$

Langkah 6.14

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = x + 13$

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = 5$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = x + 13$

Langkah 8