Prakalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$

Langkah 1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x \geq 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 5 x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) - 3 x = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $- 3 x$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $x$ dari $x (2 x^{2}) + x (- 5 x)$ .

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $x$ dari $x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1.1

Faktorkan $- 5$ dari $- 5 x$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Langkah 2.2.2.1.1.2

Tulis kembali $- 5$ sebagai $1$ ditambah $- 6$

$x (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

Langkah 2.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$x (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

Langkah 2.2.2.1.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

Langkah 2.2.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$x ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

Langkah 2.2.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

Langkah 2.2.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x + 1$ .

$x ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $2 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $2 x + 1$ sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $2 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 1$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.6

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (2 x + 1) (x - 3) = 0$ benar.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

Langkah 2.8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Langkah 2.9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Uji nilai pada interval $x < - \frac{1}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - \frac{1}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 3$

Langkah 2.9.1.2

Ganti $x$ dengan $- 3$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 \geq 0$

Langkah 2.9.1.3

Sisi kiri $- 90$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 2.9.2

Uji nilai pada interval $- \frac{1}{2} < x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.1

Pilih nilai pada interval $- \frac{1}{2} < x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 0.25$

Langkah 2.9.2.2

Ganti $x$ dengan $- 0.25$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} - 3 \cdot - 0.25 \geq 0$

Langkah 2.9.2.3

Sisi kiri $0.40625$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.9.3

Uji nilai pada interval $0 < x < 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.3.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 2.9.3.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

Langkah 2.9.3.3

Sisi kiri $- 10$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 2.9.4

Uji nilai pada interval $x > 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 2.9.4.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(6)}^{3} - 5 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

Langkah 2.9.4.3

Sisi kiri $234$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.9.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - \frac{1}{2}$ Salah

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Benar

$0 < x < 3$ Salah

$x > 3$ Benar

$x < - \frac{1}{2}$ Salah

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Benar

$0 < x < 3$ Salah

$x > 3$ Benar

Langkah 2.10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 0$ atau $x \geq 3$

Langkah 3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 0, x \geq 3}$

Langkah 4