Prakalkulus Contoh

$4 x^{2} + y^{2} - 36 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $36$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{2} + y^{2} = 36$

Langkah 1.2

Bagi setiap suku dengan $36$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{4 x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Langkah 1.3

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 6$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{36 - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 9}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\sqrt{36 - 9}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $9$ dengan $36$ .

$\sqrt{27}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$\sqrt{9 (3)}$

Langkah 5.3.5.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$3 \sqrt{3}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + 6)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(0, 6)$

Langkah 6.4

Puncak kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (6))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(0, - 6)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + 3 \sqrt{3})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(0, 3 \sqrt{3})$

Langkah 7.4

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (3 \sqrt{3}))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(0, - 3 \sqrt{3})$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3 \sqrt{3})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(3)}^{2}}}{6}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 3^{2}}}{6}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 9}}{6}$

Langkah 8.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\frac{\sqrt{36 - 9}}{6}$

Langkah 8.3.1.4

Kurangi $9$ dengan $36$ .

$\frac{\sqrt{27}}{6}$

Langkah 8.3.1.5

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{6}$

Langkah 8.3.1.5.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{6}$

Langkah 8.3.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{3 \sqrt{3}}{6}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{6}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3 \sqrt{3})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 10