Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ tidak terdefinisi.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Langkah 2

Evaluasi $lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $7$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.1.2.2

Karena fungsi $e^{3 x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $3$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $3$ dihapus.

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.1.2.2.2

Karena eksponen $3 x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{3 x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{7 + \infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.1.2.3

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.1.3.1.2

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.1.3.2

Karena fungsi $e^{3 x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $8$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $8$ dihapus.

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 2.1.1.3.2.2

Karena eksponen $3 x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{3 x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{4 - \infty}$

Langkah 2.1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1

Konstanta bukan nol kali tak hingga hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{4 + - \infty}$

Langkah 2.1.1.3.3.2

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 2.1.1.3.3.3

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 2.1.1.3.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 2.1.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 2.1.2

Karena $\frac{\infty}{- \infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 + 3 e^{3 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 e^{3 x}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.4.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.4.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.4.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (3 \cdot e^{3 x})}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.4.7

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.5

Tambahkan $0$ dan $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - 8 e^{3 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.7

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.8.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 e^{3 x}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 2.1.3.8.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.8.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Langkah 2.1.3.8.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Langkah 2.1.3.8.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Langkah 2.1.3.8.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}$

Langkah 2.1.3.8.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}$

Langkah 2.1.3.8.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \cdot 3)}$

Langkah 2.1.3.8.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (3 \cdot e^{3 x})}$

Langkah 2.1.3.8.7

Kalikan $3$ dengan $- 8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 24 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.3.9

Kurangi $24 e^{3 x}$ dengan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{- 24 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.4

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $- 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{- 24 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 24 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Langkah 2.1.4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Langkah 2.1.4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Langkah 2.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{- 8}$

Langkah 2.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Evaluasi limit dari $\frac{3}{- 8}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{3}{- 8}$

Langkah 2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{8}$

Langkah 3

Evaluasi $lim_{x \to - \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 3.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 3.1.3

Evaluasi limit dari $7$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 3.1.4

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{7 + 3 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 3.2

Karena eksponen $3 x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{3 x}$ mendekati $0$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Langkah 3.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Langkah 3.3.2

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Langkah 3.3.3

Pindahkan suku $8$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}$

Langkah 3.4

Karena eksponen $3 x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{3 x}$ mendekati $0$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Langkah 3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{7 + 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Langkah 3.5.1.2

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$\frac{7}{4 - 8 \cdot 0}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$\frac{7}{4 + 0}$

Langkah 3.5.2.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{7}{4}$

Langkah 4

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Langkah 5

Tidak ada asimtot miring karena pangkat dari pembilangnya lebih kecil dari atau sama dengan pangkat dari penyebutnya.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 6

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Asimtot Datar: $y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 7