Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ tidak terdefinisi.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Langkah 2

Karena $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ dari kiri dan $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ dari kanan, maka $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ adalah asimtot tegak.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Langkah 3

Karena $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ dari kiri dan $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ dari kanan, maka $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ adalah asimtot tegak.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

Langkah 8.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $10 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $5 x^{2}$ .

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

Langkah 8.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$0$

$4 x$

Langkah 8.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $10 x^{3} + 0 - 4 x$

						$2 x$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$

Langkah 8.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$0$

$4 x$

$15 x^{2}$

$5 x$

Langkah 8.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

						$2 x$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Langkah 8.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 15 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $5 x^{2}$ .

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Langkah 8.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							-	$15 x^{2}$	+	$0$	+	$6$

Langkah 8.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 15 x^{2} + 0 + 6$

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$6$

Langkah 8.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$6$
									+	$5 x$	-	$7$

Langkah 8.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$2 x - 3 + \frac{5 x - 7}{5 x^{2} - 2}$

Langkah 8.12

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = 2 x - 3$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = 2 x - 3$

Langkah 10