Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ tidak terdefinisi.

$- 1 \leq x \leq 0$

Langkah 2

Karena $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 1$ dari kiri dan $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 1$ dari kanan, maka $x = - 1$ adalah asimtot tegak.

$x = - 1$

Langkah 3

Karena $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kiri dan $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kanan, maka $x = 0$ adalah asimtot tegak.

$x = 0$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 1, 0$

Langkah 5

Evaluasi $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Langkah 5.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Langkah 5.1.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Langkah 5.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Langkah 5.2

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 5.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Langkah 5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 5.5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 5.5.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 5.5.3

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 5.6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 5.7

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 5.8

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Langkah 5.9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Langkah 5.9.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Langkah 5.9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Langkah 5.9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Langkah 5.9.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Langkah 5.9.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Langkah 5.9.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Langkah 5.10

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Langkah 5.11

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Langkah 5.11.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.2.1

Bagilah $1 + 0$ dengan $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

Langkah 5.11.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

Langkah 5.11.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.2.3.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

Langkah 5.11.2.3.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{- 3}{1}$

Langkah 5.11.2.4

Bagilah $- 3$ dengan $1$ .

$- 3$

Langkah 6

Evaluasi $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Langkah 6.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Langkah 6.1.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Langkah 6.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Langkah 6.2

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 6.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Langkah 6.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 6.5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 6.5.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 6.5.3

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 6.6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 6.7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 6.7.2

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Langkah 6.8

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Langkah 6.9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Langkah 6.9.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Langkah 6.9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Langkah 6.9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Langkah 6.9.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Langkah 6.9.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Langkah 6.9.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Langkah 6.10

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Langkah 6.11

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.11.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Langkah 6.11.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.11.2.1

Bagilah $1 + 0$ dengan $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

Langkah 6.11.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

Langkah 6.11.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.11.2.3.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

Langkah 6.11.2.3.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

Langkah 6.11.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 3}{- 1}$

Langkah 6.11.2.5

Bagilah $- 3$ dengan $- 1$ .

$3$

Langkah 7

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = - 3, 3$

Langkah 8

Gunakan pembagian polinomial untuk menentukan asimtot miring. Karena pernyataan ini memuat akar, maka pembagian polinomial tidak dapat dilakukan.

Tidak Dapat Mencari Asimtot Miring

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 1, 0$

Asimtot Datar: $y = - 3, 3$

Tidak Dapat Mencari Asimtot Miring

Langkah 10