Prakalkulus Contoh

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku dengan $36$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{4 x^{2}}{36} + \frac{9 y^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 3$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\sqrt{9 - 4}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$\sqrt{5}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + 3, 0)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(3, 0)$

Langkah 6.4

Puncak kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (3), 0)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(- 3, 0)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(3, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + \sqrt{5}, 0)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(\sqrt{5}, 0)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (\sqrt{5}), 0)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(- \sqrt{5}, 0)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 2^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 4}}{3}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{\sqrt{9 - 4}}{3}$

Langkah 8.3.4

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Langkah 10