Prakalkulus Contoh

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ sebagai sebuah persamaan.

$y = x^{\frac{1}{2}} - 7$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = y^{\frac{1}{2}} - 7$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$ .

$y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$

Langkah 3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{\frac{1}{2}} - x = 7$

Langkah 3.2.2

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{\frac{1}{2}} = 7 + x$

Langkah 3.3

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + x)}^{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Langkah 3.4.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Langkah 3.4.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(7 + x)}^{2}$

Langkah 3.4.1.1.2

Sederhanakan.

$y = {(7 + x)}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${(7 + x)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Tulis kembali ${(7 + x)}^{2}$ sebagai $(7 + x) (7 + x)$ .

$y = (7 + x) (7 + x)$

Langkah 3.4.2.1.2

Perluas $(7 + x) (7 + x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 7 (7 + x) + x (7 + x)$

Langkah 3.4.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x (7 + x)$

Langkah 3.4.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Langkah 3.4.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.3.1.1

Kalikan $7$ dengan $7$ .

$y = 49 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Langkah 3.4.2.1.3.1.2

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 \cdot x + x \cdot x$

Langkah 3.4.2.1.3.1.3

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 x + x^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3.2

Tambahkan $7 x$ dan $7 x$ .

$y = 49 + 14 x + x^{2}$

Langkah 3.5

Sederhanakan $49 + 14 x + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan $49$ .

$y = 14 x + x^{2} + 49$

Langkah 3.5.2

Susun kembali $14 x$ dan $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 14 x + 49$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ merupakan balikan dari $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2} + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tulis kembali ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2}$ sebagai $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = (x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.2

Perluas $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 7) - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.3.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.3.1.1.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.3.1.2

Sederhanakan $x^{1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.3.1.3

Pindahkan $- 7$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.3.1.4

Kalikan $- 7$ dengan $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.3.2

Kurangi $7 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $- 7 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Langkah 5.2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} + 14 \cdot - 7 + 49$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $14$ dengan $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gabungkan suku balikan dalam $x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Tambahkan $- 14 x^{\frac{1}{2}}$ dan $14 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0 + 49 - 98 + 49$

Langkah 5.2.4.1.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 49 - 98 + 49$

Langkah 5.2.4.2

Kurangi $98$ dengan $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 49 + 49$

Langkah 5.2.4.3

Gabungkan suku balikan dalam $x - 49 + 49$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Tambahkan $- 49$ dan $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0$

Langkah 5.2.4.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (x^{2} + 14 x + 49)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 49)}^{\frac{1}{2}} - 7$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Langkah 5.3.3.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Langkah 5.3.3.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Langkah 5.3.3.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {({(x + 7)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Langkah 5.3.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Langkah 5.3.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Langkah 5.3.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = (x + 7) - 7$

Langkah 5.3.3.4

Sederhanakan.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 7 - 7$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $x + 7 - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Kurangi $7$ dengan $7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 0$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ merupakan balikan dari $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$