Prakalkulus Contoh

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

Langkah 1

Ini adalah barisan geometrik karena ada rasio yang sama di antara masing-masing suku. Dalam hal ini, dengan mengalikan $\frac{1}{3}$ ke suku sebelumnya dalam barisan akan diperoleh nilai pada suku berikutnya. Dengan kata lain, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Barisan Geometrik: $r = \frac{1}{3}$

Langkah 2

Gunakan rumus barisan geometrik $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ untuk menentukan banyaknya suku, $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan nilai-nilai suku pertama, suku terakhir, dan rasio antar suku ke dalam rumus.

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Langkah 2.2

Selesaikan $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ .

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Langkah 2.2.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Langkah 2.2.2.2

Gabungkan $81$ dan $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Langkah 2.2.3

Kalikan kedua ruas dengan $3^{n - 1}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Langkah 2.2.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Langkah 2.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Gabungkan $\frac{1}{81}$ dan $3^{n - 1}$ .

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

Langkah 2.2.5

Selesaikan $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ .

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

Langkah 2.2.5.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $81$ .

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Langkah 2.2.5.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Langkah 2.2.5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

Langkah 2.2.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.3.2.1

Kalikan $81$ dengan $81$ .

$3^{n - 1} = 6561$

Langkah 2.2.5.4

Buat pernyataan yang setara dalam persamaan yang semuanya memiliki bilangan pokok yang sama.

$3^{n - 1} = 3^{8}$

Langkah 2.2.5.5

Karena bilangan pokoknya sama, maka dua pernyataannya sama hanya jika pangkatnya juga sama.

$n - 1 = 8$

Langkah 2.2.5.6

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $n$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.6.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$n = 8 + 1$

Langkah 2.2.5.6.2

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$n = 9$

Langkah 3

Gunakan rumus jumlah barisan geometrik $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ untuk menentukan jumlahnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai suku pertama, rasio, dan banyaknya suku ke dalam rumus.

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $9$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $19683$ .

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.7.2

Kurangi $19683$ dengan $1$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.9

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.9.1

Buang faktor negatif.

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.9.2

Gabungkan $81$ dan $\frac{19682}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.9.3

Kalikan $81$ dengan $19682$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.10

Hapus faktor persekutuan dari $1594242$ dan $19683$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.10.1

Faktorkan $81$ dari $1594242$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.10.2.1

Faktorkan $81$ dari $19683$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.1.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 3.2.2.2

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.2.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Langkah 3.2.2.4.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Langkah 3.2.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Langkah 3.2.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

Langkah 3.2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $19682$ .

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 3.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 3.2.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

Langkah 3.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $243$ .

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

Langkah 3.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

Langkah 3.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$S_{n} = \frac{9841}{81}$