Prakalkulus Contoh

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ sebagai sebuah persamaan.

$y = x^{\frac{1}{3}} - 9$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = y^{\frac{1}{3}} - 9$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$ .

$y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$

Langkah 3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{\frac{1}{3}} - x = 9$

Langkah 3.2.2

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{\frac{1}{3}} = 9 + x$

Langkah 3.3

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $3$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(9 + x)}^{3}$

Langkah 3.4

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

Langkah 3.4.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

Langkah 3.4.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(9 + x)}^{3}$

Langkah 3.4.1.1.2

Sederhanakan.

$y = {(9 + x)}^{3}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${(9 + x)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$y = 9^{3} + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Langkah 3.4.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.2.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$y = 729 + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Langkah 3.4.2.1.2.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$y = 729 + 3 \cdot 81 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Langkah 3.4.2.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $81$ .

$y = 729 + 243 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Langkah 3.4.2.1.2.4

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$y = 729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$

Langkah 3.5

Sederhanakan $729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan $729$ .

$y = 243 x + 27 x^{2} + x^{3} + 729$

Langkah 3.5.2

Pindahkan $243 x$ .

$y = 27 x^{2} + x^{3} + 243 x + 729$

Langkah 3.5.3

Susun kembali $27 x^{2}$ dan $x^{3}$ .

$y = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ merupakan balikan dari $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Gunakan Teorema Binomial.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.2.3.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.2.2

Sederhanakan.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.2.4

Kalikan $- 9$ dengan $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.2.5

Naikkan $- 9$ menjadi pangkat $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 81 + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.2.6

Kalikan $81$ dengan $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.2.7

Naikkan $- 9$ menjadi pangkat $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.3

Tulis kembali ${(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2}$ sebagai $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 ((x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.4

Perluas $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 9) - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.4.3

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.5.1.1

Kalikan $x^{\frac{1}{3}}$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.5.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.5.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.5.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.5.1.2

Pindahkan $- 9$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.5.1.3

Kalikan $- 9$ dengan $- 9$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.5.2

Kurangi $9 x^{\frac{1}{3}}$ dengan $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 18 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.6

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} + 27 (- 18 x^{\frac{1}{3}}) + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.7.1

Kalikan $- 18$ dengan $27$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.7.2

Kalikan $27$ dengan $81$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Langkah 5.2.3.8

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 \cdot - 9 + 729$

Langkah 5.2.3.9

Kalikan $243$ dengan $- 9$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gabungkan suku balikan dalam $x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Tambahkan $- 27 x^{\frac{2}{3}}$ dan $27 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 0 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

Langkah 5.2.4.1.2

Tambahkan $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729$ dan $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

Langkah 5.2.4.1.3

Kurangi $2187$ dengan $2187$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 729$

Langkah 5.2.4.1.4

Tambahkan $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 729$

Langkah 5.2.4.1.5

Tambahkan $- 729$ dan $729$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Langkah 5.2.4.1.6

Tambahkan $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.4.2

Kurangi $486 x^{\frac{1}{3}}$ dengan $243 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.4.3

Gabungkan suku balikan dalam $x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Tambahkan $- 243 x^{\frac{1}{3}}$ dan $243 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 0$

Langkah 5.2.4.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729) = {(x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)}^{\frac{1}{3}} - 9$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ merupakan balikan dari $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$