Prakalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5 x - 12}$

Langkah 1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{2 x^{2} + 5 x - 12}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$2 x^{2} + 5 x - 12 \geq 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$2 x^{2} + 5 x - 12 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ dan yang jumlahnya adalah $b = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 x$ .

$2 x^{2} + 5 (x) - 12 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali $5$ sebagai $- 3$ ditambah $8$

$2 x^{2} + (- 3 + 8) x - 12 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} - 3 x + 8 x - 12 = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(2 x^{2} - 3 x) + 8 x - 12 = 0$

Langkah 2.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 4) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Langkah 2.4

Atur $2 x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $2 x - 3$ sama dengan $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $2 x - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 3$

Langkah 2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 3$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Langkah 2.5

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 x - 3) (x + 4) = 0$ benar.

$x = \frac{3}{2}, - 4$

Langkah 2.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Langkah 2.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Uji nilai pada interval $x < - 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 2.8.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 12 \geq 0$

Langkah 2.8.1.3

Sisi kiri $30$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.8.2

Uji nilai pada interval $- 4 < x < \frac{3}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Pilih nilai pada interval $- 4 < x < \frac{3}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 2.8.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12 \geq 0$

Langkah 2.8.2.3

Sisi kiri $- 12$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 2.8.3

Uji nilai pada interval $x > \frac{3}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.1

Pilih nilai pada interval $x > \frac{3}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 2.8.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(4)}^{2} + 5 (4) - 12 \geq 0$

Langkah 2.8.3.3

Sisi kiri $40$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.8.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 4$ Benar

$- 4 < x < \frac{3}{2}$ Salah

$x > \frac{3}{2}$ Benar

$x < - 4$ Benar

$- 4 < x < \frac{3}{2}$ Salah

$x > \frac{3}{2}$ Benar

Langkah 2.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 4$ atau $x \geq \frac{3}{2}$

Langkah 3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{2}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq - 4, x \geq \frac{3}{2}}$

Langkah 4