Prakalkulus Contoh

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $889$ ke kedua sisi persamaan.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $11 x^{2} + 22 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $22$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $22$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 11$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{11}{11}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{11}{11}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = 1$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $22$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $11$ .

$e = 0 - \frac{484}{44}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $484$ dengan $44$ .

$e = 0 - 1 \cdot 11$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $11$ .

$e = 0 - 11$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $11$ dengan $0$ .

$e = - 11$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

Langkah 1.3

Substitusikan $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ untuk $11 x^{2} + 22 x$ dalam persamaan $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 11$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $11$ ke kedua sisinya.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $- 25 y^{2} + 250 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $250$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $250$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{125}{- 25}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $125$ dan $- 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $125$ .

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Langkah 1.5.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$d = - 5$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $250$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $62500$ dengan $- 100$ .

$e = 0 - - 625$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 625$ .

$e = 0 + 625$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $625$ .

$e = 625$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ .

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

Langkah 1.6

Substitusikan $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ untuk $- 25 y^{2} + 250 y$ dalam persamaan $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

Langkah 1.7

Pindahkan $625$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $625$ ke kedua sisinya.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

Langkah 1.8

Sederhanakan $889 + 11 - 625$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $889$ dan $11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

Langkah 1.8.2

Kurangi $625$ dengan $900$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $275$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 1, 5)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{11}}^{2}$ sebagai $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{11}$ sebagai $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{25 + 11^{1}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{25 + 11}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tambahkan $25$ dan $11$ .

$\sqrt{36}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Langkah 5.3.3.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$6$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(4, 5)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 6, 5)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(4, 5), (- 6, 5)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(5, 5)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 7, 5)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(5, 5), (- 7, 5)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}}{5}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {\sqrt{11}}^{2}}}{5}$

Langkah 8.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{11}}^{2}$ sebagai $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{11}$ sebagai $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Langkah 8.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Langkah 8.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Langkah 8.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Langkah 8.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{1}}}{5}$

Langkah 8.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{25 + 11}}{5}$

Langkah 8.3.3

Tambahkan $25$ dan $11$ .

$\frac{\sqrt{36}}{5}$

Langkah 8.3.4

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{5}$

Langkah 8.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{6}{5}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{{\sqrt{11}}^{2}}{6}$

Langkah 9.3

Tulis kembali ${\sqrt{11}}^{2}$ sebagai $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{11}$ sebagai $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Langkah 9.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Langkah 9.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Langkah 9.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{11^{1}}{6}$

Langkah 9.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{11}{6}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Langkah 11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Langkah 11.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} x + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $\frac{\sqrt{11}}{5}$ dan $x$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Langkah 11.2.4

Kalikan $\frac{\sqrt{11}}{5}$ dengan $1$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Langkah 12.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Langkah 12.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} x - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sqrt{11}}{5}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Langkah 12.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5, y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(- 1, 5)$

Verteks: $(4, 5), (- 6, 5)$

Titik api: $(5, 5), (- 7, 5)$

Eksentrisitas: $\frac{6}{5}$

Parameter Fokus: $\frac{11}{6}$

Asimtot: $y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$ , $y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Langkah 15