Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$ tidak terdefinisi.

$x = 1$

Langkah 2

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 3

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 4

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 5

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Langkah 5.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 5.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Langkah 5.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Perluas ${(x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{3}}{(x - 1) (x - 1)}$

Langkah 5.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3}}{x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Langkah 5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Langkah 5.2.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Langkah 5.2.5

Susun kembali $x$ dan $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Langkah 5.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Langkah 5.2.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Langkah 5.2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Langkah 5.2.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Langkah 5.2.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}$

Langkah 5.2.11

Kurangi $1 x$ dengan $- 1 x$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Langkah 5.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 5.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 5.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Langkah 5.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Langkah 5.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Langkah 5.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Langkah 5.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Langkah 5.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Langkah 5.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{2} - 4 x + 2$

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Langkah 5.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Langkah 5.13

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x + 2 + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Langkah 5.14

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = x + 2$

Langkah 6

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = 1$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = x + 2$

Langkah 7