Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$ tidak terdefinisi.

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 2

Asimtot tegak terjadi pada daerah diskontinuitas tanpa batas.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Langkah 3

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 4

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 5

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 6

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.1.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.1.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2

Perluas $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.6

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.7

Susun kembali $x$ dan $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.8

Susun kembali $x$ dan $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.9

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.10

Kalikan $- 1$ dengan $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.13

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.14

Buang faktor negatif.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.15

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.16

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.17

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.18

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.19

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.20

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.21

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.22

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.23

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.24

Pindahkan $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.25

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.26

Tambahkan $x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.27

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.2.28

Tambahkan $x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 6.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 6.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$2 x$

Langkah 6.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 0 + 2 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$2 x$

Langkah 6.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$2 x$

Langkah 6.8

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$2 x$

$1$

Langkah 6.9

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x + \frac{- 2 x + 1}{x^{2} + 2}$

Langkah 6.10

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = x$

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = x$

Langkah 8