Prakalkulus Contoh

$f (x) = 8 x^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 8 x^{5}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 8 x^{5}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 8 y^{5}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $8 y^{5} = x$ .

$8 y^{5} = x$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $8 y^{5} = x$ dengan $8$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $8 y^{5} = x$ dengan $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $y^{5}$ dengan $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8}$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ sebagai $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ dengan $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Langkah 3.4.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ dengan $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Langkah 3.4.3.2

Naikkan $\sqrt[5]{8}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Langkah 3.4.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Langkah 3.4.3.4

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Langkah 3.4.3.5

Tulis kembali ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ sebagai $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[5]{8}$ sebagai $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Langkah 3.4.3.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Langkah 3.4.3.5.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Langkah 3.4.3.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Langkah 3.4.3.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Langkah 3.4.3.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Tulis kembali ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ sebagai $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Langkah 3.4.4.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4096}}{8}$

Langkah 3.4.4.3

Tulis kembali $4096$ sebagai $4^{5} \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Faktorkan $1024$ dari $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Langkah 3.4.4.3.2

Tulis kembali $1024$ sebagai $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Langkah 3.4.4.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Langkah 3.4.4.5

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{8}$

Langkah 3.4.5

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 \sqrt[5]{x \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{x \cdot 4})}{8}$

Langkah 3.4.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Langkah 3.4.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Langkah 3.4.5.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$

Langkah 3.4.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = 8 x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (8 x^{5})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5})}}{2}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Langkah 5.2.3.2

Tulis kembali $32 x^{5}$ sebagai ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Langkah 5.2.3.3

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Langkah 5.2.4.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})}^{5}$

Langkah 5.3.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 x}}^{5}}{2^{5}})$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali ${\sqrt[5]{4 x}}^{5}$ sebagai $4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[5]{4 x}$ sebagai ${(4 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}})$

Langkah 5.3.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}})$

Langkah 5.3.4.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Langkah 5.3.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Langkah 5.3.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Langkah 5.3.4.5

Sederhanakan.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Langkah 5.3.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{32})$

Langkah 5.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.1

Faktorkan $8$ dari $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 (4)})$

Langkah 5.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 \cdot 4})$

Langkah 5.3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Langkah 5.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Langkah 5.3.7.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = 8 x^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$