Prakalkulus Contoh

$y = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ tidak terdefinisi.

$x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}$

Langkah 2

Karena $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ dari kiri dan $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ dari kanan, maka $x = - \sqrt{3}$ adalah asimtot tegak.

$x = - \sqrt{3}$

Langkah 3

Karena $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ dari kiri dan $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ dari kanan, maka $x = \sqrt{3}$ adalah asimtot tegak.

$x = \sqrt{3}$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) + 3}$

Langkah 8.1.2

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) - 1 (- 3)}$

Langkah 8.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2} - 3)}$

Langkah 8.1.4

Tulis kembali negatifnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.4.1

Tulis kembali $- (x^{2} - 3)$ sebagai $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- 1 (x^{2} - 3)}$

Langkah 8.1.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{x^{2} - 3}$

Langkah 8.2

Perluas $- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Hapus $2 x^{3} + 4 x^{2} - 9$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)}{x^{2} - 3}$

Langkah 8.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Langkah 8.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Langkah 8.2.4

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Langkah 8.2.5

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Langkah 8.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Langkah 8.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Langkah 8.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Langkah 8.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

Langkah 8.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

Langkah 8.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

$2 x^{3}$

$0$

$6 x$

Langkah 8.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 x^{3} + 0 + 6 x$

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$

Langkah 8.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Langkah 8.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Langkah 8.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 4 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Langkah 8.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$12$

Langkah 8.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 4 x^{2} + 0 + 12$

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$

Langkah 8.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$3$

Langkah 8.13

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$- 2 x - 4 + \frac{- 6 x - 3}{x^{2} - 3}$

Langkah 8.14

Pisahkan penyelesaiannya menjadi bagian polinomial dan sisanya.

$- 2 x - 4 + \frac{6 x + 3}{- x^{2} + 3}$

Langkah 8.15

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = - 2 x - 4$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = - 2 x - 4$

Langkah 10