Pra-Aljabar Contoh

$\frac{3 m^{2} (m + 4)}{(m + 3) (m - 5)}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ tidak terdefinisi.

$x = - 3, x = 5$

Langkah 2

Karena $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 3$ dari kiri dan $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 3$ dari kanan, maka $x = - 3$ adalah asimtot tegak.

$x = - 3$

Langkah 3

Karena $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $5$ dari kiri dan $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $5$ dari kanan, maka $x = 5$ adalah asimtot tegak.

$x = 5$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 3, 5$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Faktorkan $3 x^{2}$ dari $3 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Faktorkan $3 x^{2}$ dari $3 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (x) + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Langkah 8.1.1.2

Faktorkan $3 x^{2}$ dari $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Langkah 8.1.1.3

Faktorkan $3 x^{2}$ dari $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)$ .

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Langkah 8.1.2

Faktorkan $x^{2} - 2 x - 15$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 15$ dan jumlahnya $- 2$ .

$- 5, 3$

Langkah 8.1.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x - 5) (x + 3)}$

Langkah 8.2

Perluas $3 x^{2} (x + 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{(x - 5) (x + 3)}$

Langkah 8.2.2

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} x + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Langkah 8.2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Langkah 8.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Langkah 8.2.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Langkah 8.2.6

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$

Langkah 8.3

Perluas $(x - 5) (x + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x (x + 3) - 5 (x + 3)}$

Langkah 8.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 (x + 3)}$

Langkah 8.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 x - 5 \cdot 3}$

Langkah 8.3.4

Susun kembali $x$ dan $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Langkah 8.3.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Langkah 8.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Langkah 8.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{1 + 1} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Langkah 8.3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Langkah 8.3.9

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15}$

Langkah 8.3.10

Kurangi $5 x$ dengan $3 x$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Langkah 8.4

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 8.5

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 8.6

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Langkah 8.7

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{3} - 6 x^{2} - 45 x$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Langkah 8.8

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

Langkah 8.9

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Langkah 8.10

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $18 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Langkah 8.11

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Langkah 8.12

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $18 x^{2} - 36 x - 270$

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Langkah 8.13

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

$81 x$

$270$

Langkah 8.14

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$3 x + 18 + \frac{81 x + 270}{x^{2} - 2 x - 15}$

Langkah 8.15

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = 3 x + 18$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 3, 5$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = 3 x + 18$

Langkah 10