Pra-Aljabar Contoh

$2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan kuadrat dari $y^{2} + 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Langkah 1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Langkah 1.1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{2}{1}$

Langkah 1.1.3.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$d = 2$

Langkah 1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $4^{2}$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1.1

Faktorkan $4$ dari $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Langkah 1.1.4.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.4.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Langkah 1.1.4.2.1.1.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = 0 - 4$

Langkah 1.1.4.2.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$e = - 4$

Langkah 1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Langkah 1.2

Substitusikan ${(y + 2)}^{2} - 4$ untuk $y^{2} + 4 y$ dalam persamaan $2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$ .

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 144$

Langkah 1.3

Pindahkan $- 4$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $4$ ke kedua sisinya.

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 144 + 4$

Langkah 1.4

Tambahkan $144$ dan $4$ .

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 148$

Langkah 1.5

Bagi setiap suku dengan $148$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{2 x^{2}}{148} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = \frac{148}{148}$

Langkah 1.6

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{74} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 2 \sqrt{37}$

$b = \sqrt{74}$

$k = - 2$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, - 2)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{37}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{37}}^{2}$ sebagai $37$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{37}$ sebagai $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{4 \cdot 37 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $4$ dengan $37$ .

$\sqrt{148 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali ${\sqrt{74}}^{2}$ sebagai $74$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{74}$ sebagai $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.3.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.3.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{148 - 74^{1}}$

Langkah 5.3.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{148 - 1 \cdot 74}$

Langkah 5.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $74$ .

$\sqrt{148 - 74}$

Langkah 5.3.5.2

Kurangi $74$ dengan $148$ .

$\sqrt{74}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

Langkah 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, - 2 - (2 \sqrt{37}))$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

Langkah 6.6

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, - 2 + \sqrt{74})$

Langkah 7.3

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, - 2 - (\sqrt{74}))$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$(0, - 2 - \sqrt{74})$

Langkah 7.6

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{37}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{37}}^{2}$ sebagai $37$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{37}$ sebagai $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan $4$ dengan $37$ .

$\frac{\sqrt{148 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.5

Tulis kembali ${\sqrt{74}}^{2}$ sebagai $74$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{74}$ sebagai $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{148 - 74^{1}}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.5.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{148 - 1 \cdot 74}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $74$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.1.7

Kurangi $74$ dengan $148$ .

$\frac{\sqrt{74}}{2 \sqrt{37}}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\sqrt{74}$ dan $\sqrt{37}$ ke dalam akar tunggal.

$\frac{\sqrt{\frac{74}{37}}}{2}$

Langkah 8.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $74$ dan $37$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Faktorkan $37$ dari $74$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Faktorkan $37$ dari $37$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 (1)}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 \cdot 1}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{\frac{2}{1}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 10