Pra-Aljabar Contoh

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{7}$

$k = 10$

$h = 9$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(9, 10)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{7}}^{2}$ sebagai $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{9 + 7^{1}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{9 + 7}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tambahkan $9$ dan $7$ .

$\sqrt{16}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Langkah 5.3.3.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$4$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(12, 10)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(6, 10)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(12, 10), (6, 10)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(13, 10)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(5, 10)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(13, 10), (5, 10)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{7}}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{7}}^{2}$ sebagai $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Langkah 8.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Langkah 8.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Langkah 8.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{1}}}{3}$

Langkah 8.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{9 + 7}}{3}$

Langkah 8.3.3

Tambahkan $9$ dan $7$ .

$\frac{\sqrt{16}}{3}$

Langkah 8.3.4

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{4}{3}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{4}$

Langkah 9.3

Tulis kembali ${\sqrt{7}}^{2}$ sebagai $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Langkah 9.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Langkah 9.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Langkah 9.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{7^{1}}{4}$

Langkah 9.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{7}{4}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Langkah 11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

Langkah 11.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} x + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $\frac{\sqrt{7}}{3}$ dan $x$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Langkah 11.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1

Faktorkan $3$ dari $- 9$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

Langkah 11.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

Langkah 11.2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

Langkah 11.2.5

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $\sqrt{7}$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Langkah 12.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

Langkah 12.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} x - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sqrt{7}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Langkah 12.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{7}}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Langkah 12.2.4.2

Faktorkan $3$ dari $- 9$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

Langkah 12.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

Langkah 12.2.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

Langkah 12.2.5

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10, y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(9, 10)$

Verteks: $(12, 10), (6, 10)$

Titik api: $(13, 10), (5, 10)$

Eksentrisitas: $\frac{4}{3}$

Parameter Fokus: $\frac{7}{4}$

Asimtot: $y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$ , $y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Langkah 15