Pra-Aljabar Contoh

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 3 \sqrt{3}$

$b = 13$

$k = - 2$

$h = 1$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(1, - 2)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(13)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{9 \cdot 3^{1} + {(13)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{9 \cdot 3 + {(13)}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$\sqrt{27 + {(13)}^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Naikkan $13$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{27 + 169}$

Langkah 5.3.3.3

Tambahkan $27$ dan $169$ .

$\sqrt{196}$

Langkah 5.3.3.4

Tulis kembali $196$ sebagai $14^{2}$ .

$\sqrt{14^{2}}$

Langkah 5.3.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$14$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(15, - 2)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 13, - 2)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(15, - 2), (- 13, - 2)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{1} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{27 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.5

Naikkan $13$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{27 + 169}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.6

Tambahkan $27$ dan $169$ .

$\frac{\sqrt{196}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.7

Tulis kembali $196$ sebagai $14^{2}$ .

$\frac{\sqrt{14^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{14}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.2

Kalikan $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Kalikan $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.3.2

Pindahkan $\sqrt{3}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Langkah 8.3.3.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Langkah 8.3.3.4

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Langkah 8.3.3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 8.3.3.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 8.3.3.7

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 8.3.3.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 8.3.3.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.3.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.3.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Langkah 8.3.3.7.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Langkah 8.3.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{13^{2}}{14}$

Langkah 9.3

Naikkan $13$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{169}{14}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Langkah 11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Langkah 11.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} x + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ dan $x$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Langkah 11.2.4

Kalikan $\frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1

Gabungkan $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ dan $- 1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3} \cdot - 1}{9} - 2$

Langkah 11.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $13$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{- 13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Langkah 11.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Langkah 12.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Langkah 12.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} x - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Langkah 12.2.4

Kalikan $- \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + 1 \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Langkah 12.2.4.2

Kalikan $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ dengan $1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Langkah 12.2.5

Pindahkan $13$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2, y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(1, - 2)$

Verteks: $(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Titik api: $(15, - 2), (- 13, - 2)$

Eksentrisitas: $\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Parameter Fokus: $\frac{169}{14}$

Asimtot: $y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$ , $y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Langkah 15