Pra-Aljabar Contoh

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan asimtot.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 1.2

Karena $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kiri dan $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kanan, maka $x = 0$ adalah asimtot tegak.

$x = 0$

Langkah 1.3

Evaluasi $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.3.2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.3.2.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.3.2.1.2.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.3.2.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.2.3.1

Konstanta bukan nol kali tak hingga hasilnya tak hingga.

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.3.2.1.2.3.2

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.3.2.1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 1.3.2.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 1.3.2.2

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 1.3.2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 1.3.2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \ln (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 1.3.2.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 1.3.2.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 1.3.2.3.4.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 1.3.2.3.5

Kurangi $\frac{1}{x}$ dengan $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 1.3.2.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

Langkah 1.3.2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Langkah 1.3.2.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.5.1

Kalikan $\frac{1}{2 x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

Langkah 1.3.2.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

Langkah 1.3.2.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

Langkah 1.3.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Langkah 1.3.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

Langkah 1.3.3.2

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.3.4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 1$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

Langkah 1.3.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Langkah 1.3.5.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 0$

Langkah 1.3.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = 0$

Langkah 1.5

Tidak ada asimtot miring yang ditunjukkan untuk fungsi logaritma dan trigonometri.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 1.6

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = 0$

Asimtot Datar: $y = 0$

Asimtot Tegak: $x = 0$

Asimtot Datar: $y = 0$

Langkah 2

Tentukan titik pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

Langkah 2.2.1.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1}$

Langkah 2.2.2.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$f (1) = 2$

Langkah 2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 2.3

Konversikan $2$ ke desimal.

$y = 2$

Langkah 3

Tentukan titik pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

Langkah 3.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ .

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

Langkah 3.3

Konversikan $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ ke desimal.

$y = 0.1534264$

Langkah 4

Tentukan titik pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Langkah 4.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Langkah 4.3

Konversikan $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ ke desimal.

$y = - 0.02191384$

Langkah 5

Fungsi logaritma dapat digambarkan menggunakan asismtot tegak pada $x = 0$ dan titik-titik $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ .

Asimtot Tegak: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

Langkah 6