Pra-Aljabar Contoh

$8 x^{2} + 3 y^{2} = 72$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku dengan $72$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{8 x^{2}}{72} + \frac{3 y^{2}}{72} = \frac{72}{72}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 2 \sqrt{6}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(2 \sqrt{6})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{6}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{4 \cdot 6^{1} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{4 \cdot 6 - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$\sqrt{24 - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{24 - 1 \cdot 9}$

Langkah 5.3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\sqrt{24 - 9}$

Langkah 5.3.3.4

Kurangi $9$ dengan $24$ .

$\sqrt{15}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + 2 \sqrt{6})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(0, 2 \sqrt{6})$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (2 \sqrt{6}))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(0, - 2 \sqrt{6})$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + \sqrt{15})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(0, \sqrt{15})$

Langkah 7.4

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (\sqrt{15}))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(0, - \sqrt{15})$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{6})}^{2} - {(3)}^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{6}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{1} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6 - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$\frac{\sqrt{24 - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{24 - 1 \cdot 9}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\frac{\sqrt{24 - 9}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.1.7

Kurangi $9$ dengan $24$ .

$\frac{\sqrt{15}}{2 \sqrt{6}}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\sqrt{15}$ dan $\sqrt{6}$ ke dalam akar tunggal.

$\frac{\sqrt{\frac{15}{6}}}{2}$

Langkah 8.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $15$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 (5)}{6}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{2}$

Langkah 8.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{5}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}{2}$

Langkah 8.3.4.2

Kalikan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}}{2}$

Langkah 8.3.4.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}}{2}$

Langkah 8.3.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.4.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\frac{\frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}}{2}$

Langkah 8.3.4.4.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{2}$

Langkah 8.3.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 8.3.6

Kalikan $\frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.1

Kalikan $\frac{\sqrt{10}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\sqrt{10}}{4}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Langkah 10