Pra-Aljabar Contoh

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 81$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku dengan $81$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{9 y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = \frac{9}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9}$

Langkah 5.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9}$

Langkah 5.3.6

Untuk menuliskan $- 9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Langkah 5.3.7

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}}$

Langkah 5.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}}$

Langkah 5.3.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.9.1

Kalikan $- 9$ dengan $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}}$

Langkah 5.3.9.2

Kurangi $36$ dengan $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}}$

Langkah 5.3.10

Tulis kembali $\sqrt{\frac{45}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.11.1

Tulis kembali $45$ sebagai $3^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.11.1.1

Faktorkan $9$ dari $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.11.1.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.11.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.12

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.12.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 5.3.12.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(\frac{9}{2}, 0)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (\frac{3 \sqrt{5}}{2}), 0)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.3

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.7

Untuk menuliskan $- 9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.8

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.10.1

Kalikan $- 9$ dengan $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.10.2

Kurangi $36$ dengan $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.11

Tulis kembali $\sqrt{\frac{45}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.12.1

Tulis kembali $45$ sebagai $3^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.12.1.1

Faktorkan $9$ dari $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.12.1.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.12.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.13

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.13.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.13.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.14

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.14.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.14.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Langkah 8.3.14.1.2

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{3 (3)}$

Langkah 8.3.14.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3}$

Langkah 8.3.14.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Langkah 8.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.14.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Langkah 8.3.14.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{5} \frac{1}{3}$

Langkah 8.3.14.3

Gabungkan $\sqrt{5}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Langkah 10