Pra-Aljabar Contoh

$5 x^{2} + 2 y^{2} = 100$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku dengan $100$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{5 x^{2}}{100} + \frac{2 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{50} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 5 \sqrt{2}$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{25 \cdot 2^{1} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{25 \cdot 2 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $25$ dengan $2$ .

$\sqrt{50 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{50 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Langkah 5.3.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{50 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{50 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Langkah 5.3.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Langkah 5.3.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 5.3.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 5.3.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{1})}$

Langkah 5.3.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5)}$

Langkah 5.3.5

Kalikan $- (4 \cdot 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\sqrt{50 - 1 \cdot 20}$

Langkah 5.3.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$\sqrt{50 - 20}$

Langkah 5.3.6

Kurangi $20$ dengan $50$ .

$\sqrt{30}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + 5 \sqrt{2})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(0, 5 \sqrt{2})$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (5 \sqrt{2}))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(0, - 5 \sqrt{2})$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + \sqrt{30})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(0, \sqrt{30})$

Langkah 7.4

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (\sqrt{30}))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(0, - \sqrt{30})$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{1} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan $25$ dengan $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{50 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.7

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{1})}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.7.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5)}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.8

Kalikan $- (4 \cdot 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.8.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\frac{\sqrt{50 - 1 \cdot 20}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$\frac{\sqrt{50 - 20}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.9

Kurangi $20$ dengan $50$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\sqrt{30}$ dan $\sqrt{2}$ ke dalam akar tunggal.

$\frac{\sqrt{\frac{30}{2}}}{5}$

Langkah 8.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $30$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $30$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2}}}{5}$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 (1)}}}{5}$

Langkah 8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1}}}{5}$

Langkah 8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{\frac{15}{1}}}{5}$

Langkah 8.3.3.2.4

Bagilah $15$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Langkah 10