Pra-Aljabar Contoh

$x^{2} + 9 y^{2} = 25$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku dengan $25$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{9 y^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{\frac{25}{9}} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 5$

$b = \frac{5}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 - {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{3}$ .

$\sqrt{25 - \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Langkah 5.3.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{25}{3^{2}}}$

Langkah 5.3.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{25}{9}}$

Langkah 5.3.5

Untuk menuliskan $25$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9}}$

Langkah 5.3.6

Gabungkan $25$ dan $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} - \frac{25}{9}}$

Langkah 5.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9 - 25}{9}}$

Langkah 5.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.1

Kalikan $25$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{225 - 25}{9}}$

Langkah 5.3.8.2

Kurangi $25$ dengan $225$ .

$\sqrt{\frac{200}{9}}$

Langkah 5.3.9

Tulis kembali $\sqrt{\frac{200}{9}}$ sebagai $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}$

Langkah 5.3.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.1

Tulis kembali $200$ sebagai $10^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.1.1

Faktorkan $100$ dari $200$ .

$\frac{\sqrt{100 (2)}}{\sqrt{9}}$

Langkah 5.3.10.1.2

Tulis kembali $100$ sebagai $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}{\sqrt{9}}$

Langkah 5.3.10.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{9}}$

Langkah 5.3.11

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.11.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}}$

Langkah 5.3.11.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + 5, 0)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(5, 0)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (5), 0)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(- 5, 0)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (\frac{10 \sqrt{2}}{3}), 0)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5}{3})}^{2}}}{5}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - {(\frac{5}{3})}^{2}}}{5}$

Langkah 8.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{3}$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{5^{2}}{3^{2}}}}{5}$

Langkah 8.3.1.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{25}{3^{2}}}}{5}$

Langkah 8.3.1.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{25}{9}}}{5}$

Langkah 8.3.1.5

Untuk menuliskan $25$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9}}}{5}$

Langkah 8.3.1.6

Gabungkan $25$ dan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} - \frac{25}{9}}}{5}$

Langkah 8.3.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 9 - 25}{9}}}{5}$

Langkah 8.3.1.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.8.1

Kalikan $25$ dengan $9$ .

$\frac{\sqrt{\frac{225 - 25}{9}}}{5}$

Langkah 8.3.1.8.2

Kurangi $25$ dengan $225$ .

$\frac{\sqrt{\frac{200}{9}}}{5}$

Langkah 8.3.1.9

Tulis kembali $\sqrt{\frac{200}{9}}$ sebagai $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}}{5}$

Langkah 8.3.1.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.10.1

Tulis kembali $200$ sebagai $10^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.10.1.1

Faktorkan $100$ dari $200$ .

$\frac{\frac{\sqrt{100 (2)}}{\sqrt{9}}}{5}$

Langkah 8.3.1.10.1.2

Tulis kembali $100$ sebagai $10^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}{\sqrt{9}}}{5}$

Langkah 8.3.1.10.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{9}}}{5}$

Langkah 8.3.1.11

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.11.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}}}{5}$

Langkah 8.3.1.11.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\frac{10 \sqrt{2}}{3}}{5}$

Langkah 8.3.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{10 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Langkah 8.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Faktorkan $5$ dari $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{5 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Langkah 8.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Eksentrisitas: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 10