Pra-Aljabar Contoh

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y + 203 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $203$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $18 x^{2} - 126 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 18$

$b = - 126$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 126}{2 \cdot 18}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 126$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 126$ .

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 (18)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 63}{18}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 63$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $- 63$ .

$d = \frac{9 (- 7)}{18}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 7}{2}$

Langkah 1.2.3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$d = - \frac{7}{2}$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 126)}^{2}}{4 \cdot 18}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 126$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{15876}{4 \cdot 18}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $18$ .

$e = 0 - \frac{15876}{72}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $15876$ dan $72$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.3.1

Faktorkan $36$ dari $15876$ .

$e = 0 - \frac{36 (441)}{72}$

Langkah 1.2.4.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.3.2.1

Faktorkan $36$ dari $72$ .

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

Langkah 1.2.4.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

Langkah 1.2.4.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - \frac{441}{2}$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $\frac{441}{2}$ dengan $0$ .

$e = - \frac{441}{2}$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$

Langkah 1.3

Substitusikan $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ untuk $18 x^{2} - 126 x$ dalam persamaan $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203$

Langkah 1.4

Pindahkan $- \frac{441}{2}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $\frac{441}{2}$ ke kedua sisinya.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203 + \frac{441}{2}$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $2 y^{2} + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 2$

$b = 2$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{1}{2}$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $2^{2}$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $2^{2}$ .

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Langkah 1.5.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 \cdot 2$ .

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Langkah 1.5.4.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Langkah 1.5.4.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.4.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - \frac{1}{2}$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$e = - \frac{1}{2}$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ .

$2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 1.6

Substitusikan $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ untuk $2 y^{2} + 2 y$ dalam persamaan $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} = - 203 + \frac{441}{2}$

Langkah 1.7

Pindahkan $- \frac{1}{2}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $\frac{1}{2}$ ke kedua sisinya.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 1.8

Sederhanakan $- 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441 + 1}{2}$

Langkah 1.8.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.1

Tambahkan $441$ dan $1$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{442}{2}$

Langkah 1.8.2.2

Bagilah $442$ dengan $2$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + 221$

Langkah 1.8.2.3

Tambahkan $- 203$ dan $221$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 18$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $18$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{18 {(x - \frac{7}{2})}^{2}}{18} + \frac{2 {(y + \frac{1}{2})}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{{(y + \frac{1}{2})}^{2}}{9} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 3$

$b = 1$

$k = - \frac{1}{2}$

$h = \frac{7}{2}$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\sqrt{9 - 1}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $1$ dengan $9$ .

$\sqrt{8}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Langkah 5.3.5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$2 \sqrt{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 3)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (3))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

Langkah 7.3

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (2 \sqrt{2}))$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Langkah 7.6

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}}{3}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1^{2}}}{3}$

Langkah 8.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 1}}{3}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1}}{3}$

Langkah 8.3.4

Kurangi $1$ dengan $9$ .

$\frac{\sqrt{8}}{3}$

Langkah 8.3.5

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.5.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{3}$

Langkah 8.3.5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Langkah 8.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Eksentrisitas: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 10