Pra-Aljabar Contoh

$(- 3, 8)$ , $(2, - 2)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 2 + 8 \cdot - 2$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 + 8 \cdot - 2$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $8$ dengan $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 - 16$

Langkah 2.2.2

Kurangi $16$ dengan $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 22$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 8^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $9$ dan $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{8}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (2)}$

Langkah 4.2.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Langkah 4.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{2}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{- 22}{\sqrt{73} (2 \sqrt{2})})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 22$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 22$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 11}{\sqrt{73} (2 \sqrt{2})})$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $\sqrt{73} (2 \sqrt{2})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 11}{2 (\sqrt{73} (\sqrt{2}))})$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 11}{2 (\sqrt{73} (\sqrt{2}))})$

Langkah 6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{73} (\sqrt{2})})$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{73 \cdot 2}})$

Langkah 6.2.2

Kalikan $73$ dengan $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{146}})$

Langkah 6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$θ = \arccos (- \frac{11}{\sqrt{146}})$

Langkah 6.4

Kalikan $\frac{11}{\sqrt{146}}$ dengan $\frac{\sqrt{146}}{\sqrt{146}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{11}{\sqrt{146}} \cdot \frac{\sqrt{146}}{\sqrt{146}}))$

Langkah 6.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Kalikan $\frac{11}{\sqrt{146}}$ dengan $\frac{\sqrt{146}}{\sqrt{146}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{\sqrt{146} \sqrt{146}})$

Langkah 6.5.2

Naikkan $\sqrt{146}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{1} \sqrt{146}})$

Langkah 6.5.3

Naikkan $\sqrt{146}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{1} {\sqrt{146}}^{1}})$

Langkah 6.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{2}})$

Langkah 6.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{146}}^{2}$ sebagai $146$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{146}$ sebagai $146^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{(146^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{1}})$

Langkah 6.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146})$

Langkah 6.6

Evaluasi $\arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146})$ .

$θ = 155.55604521$