Pra-Aljabar Contoh

$(- 3, - 3)$ , $(- 1, 2)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot - 1 - 3 \cdot 2$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 3 \cdot 2$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 6$

Langkah 2.2.2

Kurangi $6$ dengan $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $9$ dan $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali $18$ sebagai $3^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Faktorkan $9$ dari $18$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

Langkah 3.2.4.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Langkah 3.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{- 3}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 \sqrt{2} \sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})$

Langkah 6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{5}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2 \cdot 5}})$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{10}})$

Langkah 6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{10}})$

Langkah 6.4

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{10}}$ dengan $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}))$

Langkah 6.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{10}}$ dengan $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})$

Langkah 6.5.2

Naikkan $\sqrt{10}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})$

Langkah 6.5.3

Naikkan $\sqrt{10}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})$

Langkah 6.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})$

Langkah 6.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{10}}^{2}$ sebagai $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{10}$ sebagai $10^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{1}})$

Langkah 6.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$

Langkah 6.6

Evaluasi $\arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$ .

$θ = 108.43494882$