Pra-Aljabar Contoh

$(- 3, 2)$ , $(4, - 1)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 4 + 2 \cdot - 1$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 12 + 2 \cdot - 1$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 12 - 2$

Langkah 2.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 14$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 2^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 4}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $9$ dan $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{13}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 1}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $16$ dan $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{17}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{- 14}{\sqrt{13} \sqrt{17}})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arccos (\frac{- 14}{\sqrt{13 \cdot 17}})$

Langkah 6.1.2

Kalikan $13$ dengan $17$ .

$θ = \arccos (\frac{- 14}{\sqrt{221}})$

Langkah 6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$θ = \arccos (- \frac{14}{\sqrt{221}})$

Langkah 6.3

Kalikan $\frac{14}{\sqrt{221}}$ dengan $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{14}{\sqrt{221}} \cdot \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}))$

Langkah 6.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $\frac{14}{\sqrt{221}}$ dengan $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{\sqrt{221} \sqrt{221}})$

Langkah 6.4.2

Naikkan $\sqrt{221}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} \sqrt{221}})$

Langkah 6.4.3

Naikkan $\sqrt{221}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} {\sqrt{221}}^{1}})$

Langkah 6.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{2}})$

Langkah 6.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{221}}^{2}$ sebagai $221$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{221}$ sebagai $221^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{(221^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{1}})$

Langkah 6.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221})$

Langkah 6.5

Evaluasi $\arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221})$ .

$θ = 160.34617594$