Pra-Aljabar Contoh

$(1, 9)$ , $(- 3, 9)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 3 + 9 \cdot 9$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 + 9 \cdot 9$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 + 81$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $81$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 78$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 9^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 9^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 81}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $1$ dan $81$ .

$| a⃗ | = \sqrt{82}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 9^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 9^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 81}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $9$ dan $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali $90$ sebagai $3^{2} \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Faktorkan $9$ dari $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Langkah 4.2.4.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Langkah 4.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{78}{\sqrt{82} (3 \sqrt{10})})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari $78$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $3$ dari $78$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 26}{\sqrt{82} (3 \sqrt{10})})$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $\sqrt{82} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 26}{3 (\sqrt{82} (\sqrt{10}))})$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 26}{3 (\sqrt{82} (\sqrt{10}))})$

Langkah 6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{82} (\sqrt{10})})$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{82 \cdot 10}})$

Langkah 6.2.2

Kalikan $82$ dengan $10$ .

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{820}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali $820$ sebagai $2^{2} \cdot 205$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $820$ .

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{4 (205)}})$

Langkah 6.3.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{2^{2} \cdot 205}})$

Langkah 6.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$θ = \arccos (\frac{26}{2 \sqrt{205}})$

Langkah 6.4

Hapus faktor persekutuan dari $26$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $2$ dari $26$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 13}{2 \sqrt{205}})$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{205}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 13}{2 (\sqrt{205})})$

Langkah 6.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 13}{2 \sqrt{205}})$

Langkah 6.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{205}})$

Langkah 6.5

Kalikan $\frac{13}{\sqrt{205}}$ dengan $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{205}} \cdot \frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}})$

Langkah 6.6

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Kalikan $\frac{13}{\sqrt{205}}$ dengan $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{\sqrt{205} \sqrt{205}})$

Langkah 6.6.2

Naikkan $\sqrt{205}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} \sqrt{205}})$

Langkah 6.6.3

Naikkan $\sqrt{205}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} {\sqrt{205}}^{1}})$

Langkah 6.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{2}})$

Langkah 6.6.6

Tulis kembali ${\sqrt{205}}^{2}$ sebagai $205$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{205}$ sebagai $205^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{(205^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.6.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.6.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.6.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.6.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{1}})$

Langkah 6.6.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205})$

Langkah 6.7

Evaluasi $\arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205})$ .

$θ = 24.77514056$