Pra-Aljabar Contoh

$(- 1, 1)$ , $(0, - 1)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 0 + 1 \cdot - 1$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 1 \cdot - 1$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 1$

Langkah 2.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Langkah 3.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 1}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1}$

Langkah 4.2.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$| b⃗ | = 1$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 1$ dan $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1 (1)}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{- 1 \cdot 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Langkah 6.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Langkah 6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Langkah 6.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Langkah 6.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Langkah 6.4.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Langkah 6.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Langkah 6.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Langkah 6.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Langkah 6.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 6.5

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah $135$ .

$θ = 135$