Pra-Aljabar Contoh

$2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Langkah 1

Faktorkan $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Langkah 1.3

Substitusikan $0.5$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $0.5$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0.5$ ke dalam polinomialnya.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Langkah 1.3.2

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $0.125$ .

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Langkah 1.3.4

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$0.25 + 5 \cdot 0.25 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Langkah 1.3.5

Kalikan $5$ dengan $0.25$ .

$0.25 + 1.25 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Langkah 1.3.6

Tambahkan $0.25$ dan $1.25$ .

$1.5 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Langkah 1.3.7

Kalikan $3$ dengan $0.5$ .

$1.5 + 1.5 - 3$

Langkah 1.3.8

Tambahkan $1.5$ dan $1.5$ .

$3 - 3$

Langkah 1.3.9

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$0$

Langkah 1.4

Karena $0.5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $2 x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3}{2 x - 1}$

Langkah 1.5

Bagilah $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ dengan $2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$3$

Langkah 1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$

Langkah 1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Langkah 1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Langkah 1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Langkah 1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$

Langkah 1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$

Langkah 1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$

Langkah 1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							+	$6 x$	-	$3$

Langkah 1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x - 3$

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$

Langkah 1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$
										$0$

Langkah 1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 3 x + 3$

Langkah 1.6

Tulis $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ sebagai himpunan faktor.

$(2 x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Langkah 3

Atur $2 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $2 x - 1$ sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $2 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 4

Atur $x^{2} + 3 x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $x^{2} + 3 x + 3$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 3$ , dan $c = 3$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.3

Kurangi $12$ dengan $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$