Pra-Aljabar Contoh

$x^{3} - 34 x - 12 = 0$

Langkah 1

Faktorkan $x^{3} - 34 x - 12$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Langkah 1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Langkah 1.3

Substitusikan $6$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $6$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $6$ ke dalam polinomialnya.

$6^{3} - 34 \cdot 6 - 12$

Langkah 1.3.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$216 - 34 \cdot 6 - 12$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 34$ dengan $6$ .

$216 - 204 - 12$

Langkah 1.3.4

Kurangi $204$ dengan $216$ .

$12 - 12$

Langkah 1.3.5

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$0$

Langkah 1.4

Karena $6$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 6$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 34 x - 12}{x - 6}$

Langkah 1.5

Bagilah $x^{3} - 34 x - 12$ dengan $x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$34 x$

$12$

Langkah 1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$

Langkah 1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Langkah 1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 6 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Langkah 1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$

Langkah 1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$

Langkah 1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$36 x$

Langkah 1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x^{2} - 36 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$

Langkah 1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$

Langkah 1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$

Langkah 1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$

Langkah 1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							+	$2 x$	-	$12$

Langkah 1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x - 12$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							-	$2 x$	+	$12$

Langkah 1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							-	$2 x$	+	$12$
										$0$

Langkah 1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 6 x + 2$

Langkah 1.6

Tulis $x^{3} - 34 x - 12$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 6) (x^{2} + 6 x + 2) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Langkah 3

Atur $x - 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $x - 6$ sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 6$

Langkah 4

Atur $x^{2} + 6 x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $x^{2} + 6 x + 2$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 6$ , dan $c = 2$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.3

Kurangi $8$ dengan $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.4

Tulis kembali $28$ sebagai $2^{2} \cdot 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $28$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Langkah 4.2.3.3

Sederhanakan $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{7}$

Langkah 4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 6) (x^{2} + 6 x + 2) = 0$ benar.

$x = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Bentuk Desimal:

$x = 6, - 0.35424868 \dots, - 5.64575131 \dots$