Pra-Aljabar Contoh

$x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$

Langkah 1

Faktorkan $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Langkah 1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Langkah 1.3

Substitusikan $2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $2$ ke dalam polinomialnya.

$2^{4} + 2 \cdot 2^{3} - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Langkah 1.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$16 + 2 \cdot 2^{3} - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Langkah 1.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$16 + 2 \cdot 8 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$16 + 16 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $16$ dan $16$ .

$32 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Langkah 1.3.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$32 - 11 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 36$

Langkah 1.3.7

Kalikan $- 11$ dengan $4$ .

$32 - 44 - 12 \cdot 2 + 36$

Langkah 1.3.8

Kurangi $44$ dengan $32$ .

$- 12 - 12 \cdot 2 + 36$

Langkah 1.3.9

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$- 12 - 24 + 36$

Langkah 1.3.10

Kurangi $24$ dengan $- 12$ .

$- 36 + 36$

Langkah 1.3.11

Tambahkan $- 36$ dan $36$ .

$0$

Langkah 1.4

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36}{x - 2}$

Langkah 1.5

Bagilah $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ dengan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

Langkah 1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

Langkah 1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Langkah 1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{4} - 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Langkah 1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

Langkah 1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

Langkah 1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Langkah 1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 x^{3} - 8 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Langkah 1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

Langkah 1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

Langkah 1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

Langkah 1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Langkah 1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x^{2} + 6 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Langkah 1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

Langkah 1.5.16

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

Langkah 1.5.17

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 18 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

Langkah 1.5.18

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

Langkah 1.5.19

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 18 x + 36$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

Langkah 1.5.20

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

$0$

Langkah 1.5.21

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Langkah 1.6

Tulis $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 2) (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18)$

Langkah 2

Faktorkan $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Langkah 2.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Langkah 2.3

Substitusikan $2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Substitusikan $2$ ke dalam polinomialnya.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Langkah 2.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Langkah 2.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 18$

Langkah 2.3.4

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$8 + 16 - 3 \cdot 2 - 18$

Langkah 2.3.5

Tambahkan $8$ dan $16$ .

$24 - 3 \cdot 2 - 18$

Langkah 2.3.6

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$24 - 6 - 18$

Langkah 2.3.7

Kurangi $6$ dengan $24$ .

$18 - 18$

Langkah 2.3.8

Kurangi $18$ dengan $18$ .

$0$

Langkah 2.4

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$

Langkah 2.5

Bagilah $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ dengan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

Langkah 2.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$

Langkah 2.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 2.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 2.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Langkah 2.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 2.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 2.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Langkah 2.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Langkah 2.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

Langkah 2.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Langkah 2.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $9 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Langkah 2.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Langkah 2.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $9 x - 18$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Langkah 2.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

Langkah 2.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 6 x + 9$

Langkah 2.6

Tulis $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 6 x + 9))$

Langkah 3

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 6 x + 3^{2}))$

Langkah 3.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}))$

Langkah 3.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$(x - 2) ((x - 2) {(x + 3)}^{2})$

Langkah 3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 2) (x - 2) {(x + 3)}^{2}$

Langkah 4

Gabungkan faktor sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Naikkan $x - 2$ menjadi pangkat $1$ .

${(x - 2)}^{1} (x - 2) {(x + 3)}^{2}$

Langkah 4.2

Naikkan $x - 2$ menjadi pangkat $1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} {(x + 3)}^{2}$

Langkah 4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${(x - 2)}^{1 + 1} {(x + 3)}^{2}$

Langkah 4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}$