Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 6 & 2 & 8 \\ - 3 & 4 & 1 \\ 4 & - 4 & 5 \end{array}]$

Langkah 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Langkah 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ - 4 & 5 \end{array} |$

Langkah 2.1.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 4 \cdot 5 - (- 4 \cdot 1)$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$a_{11} = 20 - (- 4 \cdot 1)$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Kalikan $- (- 4 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a_{11} = 20 - - 4$

Langkah 2.1.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$a_{11} = 20 + 4$

Langkah 2.1.2.2.2

Tambahkan $20$ dan $4$ .

$a_{11} = 24$

Langkah 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Langkah 2.2.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = - 3 \cdot 5 - 4 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $5$ .

$a_{12} = - 15 - 4 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a_{12} = - 15 - 4$

Langkah 2.2.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $- 15$ .

$a_{12} = - 19$

Langkah 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 4 & - 4 \end{array} |$

Langkah 2.3.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = - 3 \cdot - 4 - 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 4$ .

$a_{13} = 12 - 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$a_{13} = 12 - 16$

Langkah 2.3.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $12$ .

$a_{13} = - 4$

Langkah 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 8 \\ - 4 & 5 \end{array} |$

Langkah 2.4.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 5 - (- 4 \cdot 8)$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$a_{21} = 10 - (- 4 \cdot 8)$

Langkah 2.4.2.2.1.2

Kalikan $- (- 4 \cdot 8)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $8$ .

$a_{21} = 10 - - 32$

Langkah 2.4.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 32$ .

$a_{21} = 10 + 32$

Langkah 2.4.2.2.2

Tambahkan $10$ dan $32$ .

$a_{21} = 42$

Langkah 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 8 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Langkah 2.5.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 6 \cdot 5 - 4 \cdot 8$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1.1

Kalikan $6$ dengan $5$ .

$a_{22} = 30 - 4 \cdot 8$

Langkah 2.5.2.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $8$ .

$a_{22} = 30 - 32$

Langkah 2.5.2.2.2

Kurangi $32$ dengan $30$ .

$a_{22} = - 2$

Langkah 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 2 \\ 4 & - 4 \end{array} |$

Langkah 2.6.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 6 \cdot - 4 - 4 \cdot 2$

Langkah 2.6.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1.1

Kalikan $6$ dengan $- 4$ .

$a_{23} = - 24 - 4 \cdot 2$

Langkah 2.6.2.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$a_{23} = - 24 - 8$

Langkah 2.6.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $- 24$ .

$a_{23} = - 32$

Langkah 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 8 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.7.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 1 - 4 \cdot 8$

Langkah 2.7.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$a_{31} = 2 - 4 \cdot 8$

Langkah 2.7.2.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $8$ .

$a_{31} = 2 - 32$

Langkah 2.7.2.2.2

Kurangi $32$ dengan $2$ .

$a_{31} = - 30$

Langkah 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 8 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.8.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 6 \cdot 1 - (- 3 \cdot 8)$

Langkah 2.8.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1.1

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$a_{32} = 6 - (- 3 \cdot 8)$

Langkah 2.8.2.2.1.2

Kalikan $- (- 3 \cdot 8)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $8$ .

$a_{32} = 6 - - 24$

Langkah 2.8.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 24$ .

$a_{32} = 6 + 24$

Langkah 2.8.2.2.2

Tambahkan $6$ dan $24$ .

$a_{32} = 30$

Langkah 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Langkah 2.9.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 6 \cdot 4 - (- 3 \cdot 2)$

Langkah 2.9.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1.1

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$a_{33} = 24 - (- 3 \cdot 2)$

Langkah 2.9.2.2.1.2

Kalikan $- (- 3 \cdot 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$a_{33} = 24 - - 6$

Langkah 2.9.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$a_{33} = 24 + 6$

Langkah 2.9.2.2.2

Tambahkan $24$ dan $6$ .

$a_{33} = 30$

Langkah 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 24 & 19 & - 4 \\ - 42 & - 2 & 32 \\ - 30 & - 30 & 30 \end{array}]$

Langkah 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 24 & - 42 & - 30 \\ 19 & - 2 & - 30 \\ - 4 & 32 & 30 \end{array}]$