Aljabar Linear Contoh

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2$ , $\frac{3 x}{2} - \frac{y}{3} = 1$

Langkah 1

Tentukan $A X = B$ dari sistem persamaan tersebut.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan balikan dari matriks koefisien.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Langkah 2.2

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3}) - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.2.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- \frac{1}{6} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- \frac{1}{6} + \frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.2.2.1.2.2

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.2.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{6} + \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.2.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{6} + \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.2.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{6} - \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 2.2.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.2.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- \frac{1}{6} - \frac{3}{6}$

Langkah 2.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 - 3}{6}$

Langkah 2.2.2.5

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 4}{6}$

Langkah 2.2.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{6}$

Langkah 2.2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.2.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.2.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{3}$

Langkah 2.2.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{3}$

Langkah 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Langkah 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{2}{3}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.5

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{2}{3}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- (1 (\frac{3}{2})) [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.7

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{2} [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.8

Kalikan $- \frac{3}{2}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) & - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{2} (- \frac{1}{3}) & - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.1.2

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.1.3

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.1.5

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot - 1 & - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.2

Gabungkan $\frac{- 1}{2}$ dan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{2} & - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.4.2

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 1}{3} \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.4.3

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 1}{3} \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 1}{3} \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.5

Gabungkan $\frac{- 1}{2}$ dan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- - 1}{2} \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{3}{2} (- \frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.7

Kalikan $- \frac{3}{2} (- \frac{3}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.7.2

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.7.3

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.7.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{2 \cdot 2} & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.7.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{4} & - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Langkah 2.9.8

Kalikan $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{4} & - \frac{3}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Langkah 2.9.8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{4} & - \frac{3}{4} \end{array}]$

Langkah 3

Kalikan kedua sisi persamaan matriks dengan matriks balikan.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{4} & - \frac{3}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{3} \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{4} & - \frac{3}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4

Semua matriks akan selalu bernilai $1$ jika dikalikan dengan balikannya. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{4} & - \frac{3}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 5

Kalikan $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{4} & - \frac{3}{4} \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Langkah 5.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{9}{4} \cdot 2 - \frac{3}{4} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ \frac{18 - 3}{4} \end{array}]$

Langkah 5.3.2

Kurangi $3$ dengan $18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ \frac{15}{4} \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kiri dan kanan.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ \frac{15}{4} \end{array}]$

Langkah 7

Tentukan penyelesaiannya.

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{15}{4}$