Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} - 4 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & - 3 \\ 2 & - 4 & 1 \end{array}]$

Langkah 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Langkah 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.1.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 3)$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$a_{11} = 4 - (- 4 \cdot - 3)$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Kalikan $- (- 4 \cdot - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 3$ .

$a_{11} = 4 - 1 \cdot 12$

Langkah 2.1.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$a_{11} = 4 - 12$

Langkah 2.1.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $4$ .

$a_{11} = - 8$

Langkah 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.2.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot - 3$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$a_{12} = 1 - 2 \cdot - 3$

Langkah 2.2.2.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 3$ .

$a_{12} = 1 + 6$

Langkah 2.2.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $6$ .

$a_{12} = 7$

Langkah 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Langkah 2.3.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 4$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a_{13} = - 4 - 2 \cdot 4$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$a_{13} = - 4 - 8$

Langkah 2.3.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $- 4$ .

$a_{13} = - 12$

Langkah 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.4.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 3 \cdot 1 - (- 4 \cdot 4)$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$a_{21} = 3 - (- 4 \cdot 4)$

Langkah 2.4.2.2.1.2

Kalikan $- (- 4 \cdot 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$a_{21} = 3 - - 16$

Langkah 2.4.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 16$ .

$a_{21} = 3 + 16$

Langkah 2.4.2.2.2

Tambahkan $3$ dan $16$ .

$a_{21} = 19$

Langkah 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.5.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = - 4 \cdot 1 - 2 \cdot 4$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a_{22} = - 4 - 2 \cdot 4$

Langkah 2.5.2.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$a_{22} = - 4 - 8$

Langkah 2.5.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $- 4$ .

$a_{22} = - 12$

Langkah 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Langkah 2.6.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = - 4 \cdot - 4 - 2 \cdot 3$

Langkah 2.6.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$a_{23} = 16 - 2 \cdot 3$

Langkah 2.6.2.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$a_{23} = 16 - 6$

Langkah 2.6.2.2.2

Kurangi $6$ dengan $16$ .

$a_{23} = 10$

Langkah 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 4 & - 3 \end{array} |$

Langkah 2.7.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 4$

Langkah 2.7.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$a_{31} = - 9 - 4 \cdot 4$

Langkah 2.7.2.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$a_{31} = - 9 - 16$

Langkah 2.7.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $- 9$ .

$a_{31} = - 25$

Langkah 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Langkah 2.8.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = - 4 \cdot - 3 - 1 \cdot 4$

Langkah 2.8.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 3$ .

$a_{32} = 12 - 1 \cdot 4$

Langkah 2.8.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$a_{32} = 12 - 4$

Langkah 2.8.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $12$ .

$a_{32} = 8$

Langkah 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Langkah 2.9.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 3$

Langkah 2.9.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$a_{33} = - 16 - 1 \cdot 3$

Langkah 2.9.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$a_{33} = - 16 - 3$

Langkah 2.9.2.2.2

Kurangi $3$ dengan $- 16$ .

$a_{33} = - 19$

Langkah 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 8 & - 7 & - 12 \\ - 19 & - 12 & - 10 \\ - 25 & - 8 & - 19 \end{array}]$