Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 \\ 3 & 9 & - 6 \\ - 2 & - 6 & 4 \end{array}]$

Langkah 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Langkah 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 6 \\ - 6 & 4 \end{array} |$

Langkah 2.1.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 9 \cdot 4 - (- 6 \cdot - 6)$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Kalikan $9$ dengan $4$ .

$a_{11} = 36 - (- 6 \cdot - 6)$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Kalikan $- (- 6 \cdot - 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.2.1

Kalikan $- 6$ dengan $- 6$ .

$a_{11} = 36 - 1 \cdot 36$

Langkah 2.1.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $36$ .

$a_{11} = 36 - 36$

Langkah 2.1.2.2.2

Kurangi $36$ dengan $36$ .

$a_{11} = 0$

Langkah 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 4 \end{array} |$

Langkah 2.2.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 3 \cdot 4 - (- 2 \cdot - 6)$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$a_{12} = 12 - (- 2 \cdot - 6)$

Langkah 2.2.2.2.1.2

Kalikan $- (- 2 \cdot - 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 6$ .

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 12$

Langkah 2.2.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$a_{12} = 12 - 12$

Langkah 2.2.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$a_{12} = 0$

Langkah 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ - 2 & - 6 \end{array} |$

Langkah 2.3.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 3 \cdot - 6 - (- 2 \cdot 9)$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $- 6$ .

$a_{13} = - 18 - (- 2 \cdot 9)$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Kalikan $- (- 2 \cdot 9)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $9$ .

$a_{13} = - 18 - - 18$

Langkah 2.3.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 18$ .

$a_{13} = - 18 + 18$

Langkah 2.3.2.2.2

Tambahkan $- 18$ dan $18$ .

$a_{13} = 0$

Langkah 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 6 & 4 \end{array} |$

Langkah 2.4.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 3 \cdot 4 - (- 6 \cdot - 2)$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$a_{21} = 12 - (- 6 \cdot - 2)$

Langkah 2.4.2.2.1.2

Kalikan $- (- 6 \cdot - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.2.1

Kalikan $- 6$ dengan $- 2$ .

$a_{21} = 12 - 1 \cdot 12$

Langkah 2.4.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$a_{21} = 12 - 12$

Langkah 2.4.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$a_{21} = 0$

Langkah 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 4 \end{array} |$

Langkah 2.5.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 4 - (- 2 \cdot - 2)$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$a_{22} = 4 - (- 2 \cdot - 2)$

Langkah 2.5.2.2.1.2

Kalikan $- (- 2 \cdot - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$a_{22} = 4 - 1 \cdot 4$

Langkah 2.5.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$a_{22} = 4 - 4$

Langkah 2.5.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$a_{22} = 0$

Langkah 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 2 & - 6 \end{array} |$

Langkah 2.6.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot - 6 - (- 2 \cdot 3)$

Langkah 2.6.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1.1

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$a_{23} = - 6 - (- 2 \cdot 3)$

Langkah 2.6.2.2.1.2

Kalikan $- (- 2 \cdot 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$a_{23} = - 6 - - 6$

Langkah 2.6.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$a_{23} = - 6 + 6$

Langkah 2.6.2.2.2

Tambahkan $- 6$ dan $6$ .

$a_{23} = 0$

Langkah 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 9 & - 6 \end{array} |$

Langkah 2.7.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 3 \cdot - 6 - 9 \cdot - 2$

Langkah 2.7.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $- 6$ .

$a_{31} = - 18 - 9 \cdot - 2$

Langkah 2.7.2.2.1.2

Kalikan $- 9$ dengan $- 2$ .

$a_{31} = - 18 + 18$

Langkah 2.7.2.2.2

Tambahkan $- 18$ dan $18$ .

$a_{31} = 0$

Langkah 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} |$

Langkah 2.8.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot - 6 - 3 \cdot - 2$

Langkah 2.8.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1.1

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$a_{32} = - 6 - 3 \cdot - 2$

Langkah 2.8.2.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 2$ .

$a_{32} = - 6 + 6$

Langkah 2.8.2.2.2

Tambahkan $- 6$ dan $6$ .

$a_{32} = 0$

Langkah 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} |$

Langkah 2.9.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot 9 - 3 \cdot 3$

Langkah 2.9.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1.1

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$a_{33} = 9 - 3 \cdot 3$

Langkah 2.9.2.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$a_{33} = 9 - 9$

Langkah 2.9.2.2.2

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$a_{33} = 0$

Langkah 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$