Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 4 & 6 & 5 \end{array}]$

Langkah 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Langkah 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 6 & 5 \end{array} |$

Langkah 2.1.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 3 \cdot 5 - 6 \cdot 3$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Kalikan

$3$ dengan

$5$ .

$a_{11} = 15 - 6 \cdot 3$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Kalikan

$- 6$ dengan

$3$ .

$a_{11} = 15 - 18$

Langkah 2.1.2.2.2

Kurangi

$18$ dengan

$15$ .

$a_{11} = - 3$

Langkah 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Langkah 2.2.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 2 \cdot 5 - 4 \cdot 3$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1.1

Kalikan

$2$ dengan

$5$ .

$a_{12} = 10 - 4 \cdot 3$

Langkah 2.2.2.2.1.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$3$ .

$a_{12} = 10 - 12$

Langkah 2.2.2.2.2

Kurangi

$12$ dengan

$10$ .

$a_{12} = - 2$

Langkah 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Langkah 2.3.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Kalikan

$2$ dengan

$6$ .

$a_{13} = 12 - 4 \cdot 3$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$3$ .

$a_{13} = 12 - 12$

Langkah 2.3.2.2.2

Kurangi

$12$ dengan

$12$ .

$a_{13} = 0$

Langkah 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 6 & 5 \end{array} |$

Langkah 2.4.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 5 - 6 \cdot 3$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.1

Kalikan

$2$ dengan

$5$ .

$a_{21} = 10 - 6 \cdot 3$

Langkah 2.4.2.2.1.2

Kalikan

$- 6$ dengan

$3$ .

$a_{21} = 10 - 18$

Langkah 2.4.2.2.2

Kurangi

$18$ dengan

$10$ .

$a_{21} = - 8$

Langkah 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Langkah 2.5.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 3$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1.1

Kalikan

$5$ dengan

$1$ .

$a_{22} = 5 - 4 \cdot 3$

Langkah 2.5.2.2.1.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$3$ .

$a_{22} = 5 - 12$

Langkah 2.5.2.2.2

Kurangi

$12$ dengan

$5$ .

$a_{22} = - 7$

Langkah 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Langkah 2.6.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Langkah 2.6.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1.1

Kalikan

$6$ dengan

$1$ .

$a_{23} = 6 - 4 \cdot 2$

Langkah 2.6.2.2.1.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$2$ .

$a_{23} = 6 - 8$

Langkah 2.6.2.2.2

Kurangi

$8$ dengan

$6$ .

$a_{23} = - 2$

Langkah 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Langkah 2.7.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Langkah 2.7.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1.1

Kalikan

$2$ dengan

$3$ .

$a_{31} = 6 - 3 \cdot 3$

Langkah 2.7.2.2.1.2

Kalikan

$- 3$ dengan

$3$ .

$a_{31} = 6 - 9$

Langkah 2.7.2.2.2

Kurangi

$9$ dengan

$6$ .

$a_{31} = - 3$

Langkah 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Langkah 2.8.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 3$

Langkah 2.8.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1.1

Kalikan

$3$ dengan

$1$ .

$a_{32} = 3 - 2 \cdot 3$

Langkah 2.8.2.2.1.2

Kalikan

$- 2$ dengan

$3$ .

$a_{32} = 3 - 6$

Langkah 2.8.2.2.2

Kurangi

$6$ dengan

$3$ .

$a_{32} = - 3$

Langkah 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Langkah 2.9.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2$

Langkah 2.9.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1.1

Kalikan

$3$ dengan

$1$ .

$a_{33} = 3 - 2 \cdot 2$

Langkah 2.9.2.2.1.2

Kalikan

$- 2$ dengan

$2$ .

$a_{33} = 3 - 4$

Langkah 2.9.2.2.2

Kurangi

$4$ dengan

$3$ .

$a_{33} = - 1$

Langkah 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 0 \\ 8 & - 7 & 2 \\ - 3 & 3 & - 1 \end{array}]$