Aljabar Linear Contoh

- 13 x = 97 - 19 y

$- 13 x = 97 - 19 y$ ,

- 17 x = 83 + 19 y

$- 17 x = 83 + 19 y$

Langkah 1

Tentukan

A X = B

$A X = B$ dari sistem persamaan tersebut.

[\begin{matrix} - 13 & 19 - 17 & - 19 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9783 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 13 & 19 \\ - 17 & - 19 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan balikan dari matriks koefisien.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Langkah 2.2

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 13 \cdot - 19 - (- 17 \cdot 19)

$- 13 \cdot - 19 - (- 17 \cdot 19)$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Kalikan

- 13

$- 13$ dengan

- 19

$- 19$ .

247 - (- 17 \cdot 19)

$247 - (- 17 \cdot 19)$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan

- (- 17 \cdot 19)

$- (- 17 \cdot 19)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.2.1

Kalikan

- 17

$- 17$ dengan

19

$19$ .

247 - - 323

$247 - - 323$

Langkah 2.2.2.1.2.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 323

$- 323$ .

247 + 323

$247 + 323$

247 + 323

$247 + 323$

247 + 323

$247 + 323$

Langkah 2.2.2.2

Tambahkan

247

$247$ dan

323

$323$ .

570

$570$

570

$570$

570

$570$

Langkah 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Langkah 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{570} [\begin{matrix} - 19 & - 19 17 & - 13 \end{matrix}]

$\frac{1}{570} [\begin{array}{c} - 19 & - 19 \\ 17 & - 13 \end{array}]$

Langkah 2.5

Kalikan

\frac{1}{570}

$\frac{1}{570}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

[\begin{matrix} \frac{1}{570} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{570} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari

19

$19$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.1

Faktorkan

19

$19$ dari

570

$570$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{19 (30)} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{19 (30)} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.1.2

Faktorkan

19

$19$ dari

- 19

$- 19$ .

[\begin{matrix} \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) & \frac{1}{570} \cdot - 19 \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{30} \cdot - 1 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.2

Gabungkan

$\frac{1}{30}$ dan

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{30} & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$19$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Faktorkan

$19$ dari

$570$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{19 (30)} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.4.2

Faktorkan

$19$ dari

$- 19$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{30} \cdot - 1 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.5

Gabungkan

$\frac{1}{30}$ dan

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{- 1}{30} \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.7

Gabungkan

$\frac{1}{570}$ dan

$17$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.8

Gabungkan

$\frac{1}{570}$ dan

$- 13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & \frac{- 13}{570} \end{array}]$

Langkah 2.6.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}]$

Langkah 3

Kalikan kedua sisi persamaan matriks dengan matriks balikan.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 13 & 19 \\ - 17 & - 19 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$

Langkah 4

Semua matriks akan selalu bernilai

$1$ jika dikalikan dengan balikannya.

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$

Langkah 5

Kalikan

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Langkah 5.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} \cdot 97 - \frac{1}{30} \cdot 83 \\ \frac{17}{570} \cdot 97 - \frac{13}{570} \cdot 83 \end{array}]$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

$[\begin{array}{c} - 6 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kiri dan kanan.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 7

Tentukan penyelesaiannya.

$x = - 6$

$y = 1$